Geometria das superfícies modelos matemáticos

Como transformar uma superfície Cross Cap em uma superfície de Boy (direita ou esquerda, a escolha)

passando pela superfície romana de Steiner.

Italiano: Andrea Sambusetti, universidade de Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 de setembro - 25 de outubro de 2003 **

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Apresentamos o modelo ainda de outro ponto de vista:

Tabela 14: repetimos sempre a mesma operação criando o terceiro "ouvido" da curva de auto-interseção. No modelo poliédrico, esta última tem a forma de três quadrados com um vértice em comum: o ponto triplo T .

Tabela 15: ao girar o objeto, vocês encontrarão a versão poliédrica da superfície de Boy que eu apresentei no Topologicon (onde vocês também podem encontrar um plano de montagem que permite construí-la).

Última tabela: tentei ilustrar a superfície de Steiner enquanto se contorce e se transforma em superfície de Boy.

Vemos que, desenhada em "redondinho", leva um bom tempo para entendê-la. Nosso olho fica muito desconfortável ao tentar compreender um objeto no qual, na mesma linha visual, se sobrepõem mais de duas folhas. Daí a importância do modelo poliédrico, que torna acessíveis a qualquer um, desde que se tente construir os pequenos modelos, transformações consideradas complexas na geometria. Observamos, por acaso, que, dependendo das duplas de pontos cuspídeos escolhidas, obtém-se uma superfície de Boy "direita" ou "esquerda" (definições completamente arbitrárias). O plano projetivo se imerge no espaço através de duas representações "antiautomorfas" espelhadas. Assim, vemos também que é possível passar de uma superfície de Boy direita para uma superfície de Boy esquerda através de um modelo "central" que é a superfície romana de Steiner.

Seria certamente agradável se esses desenhos fossem publicados em revistas como Pour la Science ou La Recherche. Mas, há vinte anos, me é "proibida" a publicação nesses jornais devido a deviações ufológicas. Obrigado, senhores Hervé This e Philippe Boulanger. Perdi a conta dos artigos desse tipo que enviei a essas revistas e que foram gentilmente recusados. Acaba-se por se acostumar ao próprio status de excomungado.

Como anedota, existe um "prêmio d'Alembert" destinado a recompensar os autores de livros de divulgação matemática. A história me foi contada por um membro da comissão encarregada de decidir a quem deveria ser concedido o prêmio (há, no entanto, questões de dinheiro por trás disso). Diálogo:

• No fim das contas, por que não damos o prêmio a Petit? Ele escreveu obras notáveis como o "Géométricon", o "Trou Noir" e o "Topologicon".

• Sim, mas ele não fez apenas isso.

• A que você se refere?

• Ele também escreveu o "Mur du Silence".

• Ah, bem, então...

Bem, sim, o "Mur du Silence", publicado em 1983, é um álbum dedicado à MHD. E, como todos sabemos, essa ciência corrosiva tem a qualidade, ou defeito, de permitir que os discos voadores se movam a velocidade supersônica sem fazer "Bang".

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

Tenho em minhas caixas uma versão magnífica do "virar do cubo", que não é a versão poliédrica da variante de Morin. Tudo é da minha autoria. Um dia desses....

22 de outubro de 2003 : Não se se preocupa muito com estas páginas, se acredito no contador. Segunda-feira, 13 de outubro de 2003, dei uma palestra no CMI (Centro de Matemática e Informática de Château-Gombert-Marselha) convidado por Trotman. Nessa ocasião, pude mostrar uma coleção de cerca de trinta modelos em cartão, que um dia poderão ser apreciados, pois foram fotografados por Christophe Tardy.

Ao dar uma palestra, cria-se certa atmosfera. Na foto abaixo, vemos um geômetra expressando sua perplexidade.

No fundo, uma parte dos pequenos modelos expostos com a ajuda do meu colaborador de longa data, Boris Kolev, membro do departamento, também geômetra. Em um momento, perguntei:

• Quantos de vocês já viram uma superfície romana de Steiner? Levantem a mão.

Ninguém já tinha visto. Achei então útil apresentar esse objeto, com um programa de realidade virtual, no laptop que eu estava usando, programa feito com a ajuda de Christophe Tardy, engenheiro, e de Frédéric Descamp, do Instituto Laue Langevin de Grenoble (ILL). Claramente, essa apresentação surpreende o público, pouco acostumado a ver superfícies matemáticas fazerem giros à vontade.

Duas tabelas de cartão, visíveis na primeira linha, permitiram apresentar toda a sequência dos pequenos modelos em sua ordem lógica. Os modelos em verde e amarelo ilustram, na forma poliédrica, o instrumento essencial de criação e dissolução de um par de pontos cuspídeos. O objeto branco mais distante é uma versão poliédrica da superfície Cross Cap, que se transforma primeiro na versão poliédrica da superfície romana de Steiner, depois, um metro à frente, à vontade, em uma superfície de Boy "direita" ou "esquerda".

A análise dos pequenos modelos traz várias observações ao público. Um dos geômetras pergunta:

*- Se é verdade que, seguindo os pequenos modelos nessa ordem, é possível passar da superfície Cross Cap para a de Boy, parece que, seguindo o procedimento oposto, é possível transformar uma superfície de Boy em uma Cross Cap. *

Respondo afirmativamente. Encorajado, meu interlocutor acrescenta:

*- Então, se chegarmos ao estágio da superfície romana de Steiner e pararmos, deveria ser possível voltar para uma superfície de Boy, mas refletida em relação à inicial. *

Concordo pela segunda vez. Mas, infelizmente, ninguém se oferecerá para esclarecer algo sobre esse estranho mundo em que se permite que as imersões de superfícies fechadas tenham pontos cuspídeos, criados ou dissolvidos em pares, cujo conjunto constitui uma espécie de extensão do mundo das imersões. O termo "summersione" me parece conveniente. Se um leitor for capaz de esclarecer algo, seja bem-vindo.

Curvatura concentrada em um ponto cuspídeo.

A calcularemos somando os ângulos nos vértices e comparando essa soma com o resultado obtido no caso do plano euclidiano: 2p.

Na parte superior esquerda, você pode ver uma das muitas representações poliédricas possíveis de um ponto cuspídeo. "Desmontando" a superfície, chega-se a uma soma de ângulos que excede o valor 2p em 2a. Conclui-se que a curvatura angular concentrada ao redor desse ponto C é -2a. Se o ângulo a for igual a p/2, então a curvatura negativa é -p (figura na parte inferior esquerda). Na verdade, a curvatura de um ponto cuspídeo pode assumir infinitos valores. Na parte inferior direita, enfatizamos a soma angular e a curvatura torna-se então < -p (aumentamos a curvatura negativa).

Operando de forma inversa, podemos chegar a uma situação bastante surpreendente: podemos fazer com que a curvatura (angular) concentrada em C seja ... nula:

Agora partimos de uma representação poliédrica da superfície Cross Cap com dois pontos cuspídeos, cada um com curvatura igual a -p:

Nesta figura, há oito "posiconi" correspondentes com valor +p/2. Adicionamos quatro outros "posiconi" com curvatura +p/4 e quatro "negaconi" com curvatura -p/4.

Mais os dois pontos cuspídeos com curvatura -p.

Total: 2p

Dividindo o valor dessa "curvatura total" por 2p, recuperamos o valor da característica de Euler-Poincaré de qualquer representação do plano projetivo (ou da superfície de Boy).

Durante a conferência, mencionei a arte e o modo de permutar os dois pontos cuspídeos de uma superfície Cross Cap usando o virar da esfera. Não sei p...