Italiano
: Andrea Sambusetti, universidade de Roma
Clique aqui para fazer
aparecer o desenho do modelo em escala 1:1, para imprimir e recortar.
Fotocopiando quatro exemplares em cartão bristol de duas cores
diferentes, poderá construir o modelo você mesmo,
seguindo as indicações para montá-lo
Você certamente já viu um objeto bizarro girar incansavelmente
na parte esquerda da página inicial deste site. Do que se trata?
Um dia, quando encontrar tempo, instalarei
neste site uma descrição do reviramento da esfera, tal como
a havia ilustrado no número de Pour la Science de janeiro de 1979, ou seja...
22 anos atrás! Tudo isso necessitará de muitos detalhes e de uma introdução.
O que significa "revirar uma esfera"? Uma esfera não tem o mesmo
significado para o homem comum e para o matemático-geômetra. Para o homem comum,
não é nada além do lugar dos pontos do espaço situados a uma distância
R de um ponto O prefixado. Um geômetra continuará a chamar "esfera",
por outro lado, também um objeto que corresponde a uma "esfera deformada",
como uma batata, por exemplo. Para compreender com maior precisão esses conceitos,
procure o CD de Lanturlu contendo a história em quadrinhos "Topologicon".
Mas o matemático vai também um pouco mais longe. Uma superfície é
dita "regular" quando em cada um de seus pontos se pode definir
um plano tangente. Isso já permite pensar em uma infinidade
de deformações regulares possíveis da esfera, nas infinitas formas possíveis
de uma batata, variando além disso de modo arbitrário a área de tal superfície.
Dito isso, em nosso universo físico uma pessoa que tente revirar
a esfera (ou seja, levar sua superfície interna para o exterior) se encontrará
diante da impossibilidade de conseguir fazer sua
superfície se auto-atravessar. Quando se assume essa hipótese, ou seja, se proíbe que a superfície
se auto-atravesse ou mesmo apenas que se "toque", o matemático fala
de embedding da esfera S2. Mas um matemático sempre se permite tudo. Uma
esfera é, para ele, um objeto "virtual" e não material, em
que o atravessamento de uma folha é considerado possível. A sucessão
de desenhos abaixo mostra uma esfera que se auto-atravessa. Uma representação
do gênero, que admita ou seja auto-atravessamentos, é dita
uma imersão.
Uma imersão possui, portanto, um conjunto de auto-interseção
(aqui se trata de uma simples curva circular). O plano tangente, porém,
deve variar de maneira contínua. Dito isso, quando se olha o desenho
acima, vê-se bem que a operação leva uma parte da superfície interna
(representada em verde) para o exterior. Para completar o reviramento, seria preciso
achatar essa espécie de tripa equatorial. Aqui parece haver um problema:
esse achatamento destruiria a continuidade do plano tangente,
e tal transformação conteria portanto um passo que não é uma imersão.
Um dia um matemático americano, Stephen Smale, demonstrou
que "a esfera S2 possui uma única classe de imersões". Essa frase
sibilina tinha como corolário o fato de que se deveria poder passar,
por meio de uma transformação que contenha apenas verdadeiras imersões, da esfera "padrão"
à sua representação "antipodal", ou seja, em que cada ponto
é trocado com seu antipodal: em palavras simples... uma esfera revirada.
Raoul Bott era o chefe de Smale. Tanto a demonstração formal desse fato
parecia correta, quanto ninguém parecia capaz de realizar concretamente
essa operação de reviramento. Bott continuava a pedir a Smale "me
mostre como pensaria em proceder"; ao que Smale, notoriamente
sem papas na língua, respondia "não tenho a mais vaga ideia".
Smale obteve em seguida a medalha Fields, o equivalente do Nobel para a matemática.
A propósito, você talvez se pergunte por que não exista o prêmio Nobel para
a matemática. A resposta é simples: sua esposa fugiu com
um matemático.
As coisas ficaram assim por um bom tempo,
até que um matemático americano chamado Anthony Phillips publicou
em 1967, na Scientific American, uma primeira versão desse reviramento,
extremamente complicada. A segunda foi inventada no início dos anos setenta
pelo matemático francês (não vidente) Bernard Morin. Fui o primeiro a desenhar
a sucessão das transformações, que será objeto, como lhes anunciei,
de um próximo artigo neste site, aliás bem abundante. De todo modo, tudo
isso nos leva a uma consideração. As superfícies podem ser representadas
em forma poliédrica. Um cubo ou um tetraedro podem ser considerados
representações poliédricas da esfera, no sentido de que esses objetos têm
a mesma topologia. Sobre esse ponto, consulte meu Topologicon. Além disso
se compreende que, se é possível revirar a esfera, será igualmente
possível revirar um cubo. A transformação inventada por Bernard Morin (que
ilustrei no artigo de janeiro de 1979 na Pour la Science) passa por um
modelo central. Existe uma simetria nessa sucessão. É a que
chamo "modelo central de 4 orelhas". Estou antecipando coisas.
De todo modo, assim como a esfera se presta a representações poliédricas, o mesmo
vale para os passos sucessivos dessa transformação. O que você vê girar
na minha página inicial é a versão poliédrica do modelo central
do reviramento da esfera, que inventei uma dezena de anos atrás. O interesse
de tais modelos poliédricos está no fato de que se podem construir com
superfícies planas. Podem-se também construir com papel e tesoura. Dê uma olhada
no desenho abaixo (agradeço entre parênteses ao meu amigo Christophe Tardy,
que produziu os elementos na medida certa).
É um plano de montagem do qual você tem aqui uma vista
geral. Mas para imprimi-lo é preferível que passe à página de recorte.
Imprima-a. Depois, munido deste exemplar impresso na habitual
papel da sua impressora, fotocopie 4 cópias idênticas, duas em cartão
bristol verde, e duas em amarelo. Você será capaz, por meio dessas folhas para
recortar, de construir o modelo central do reviramento do cubo.
Nos elementos a recortar há pares de letras
: a , b c , d , e , f etc.... Basta dobrar a folha levando a
coincidir as mesmas letras, e depois fixar as faces com fita adesiva
transparente. Os desenhos que seguem mostram a maneira de montar uma das quatro
peças. Eis primeiramente como se deve começar a dobrar um dos quatro elementos
:
Eis dois dos quatro elementos, vistos de ângulos diferentes.
Dispõem-se então de modo a dar lugar a um objeto
com uma simetria de ordem quatro, em que se alternam elementos verdes e amarelos.
Para vê-lo em 3d, dê uma olhada na realização de Tardy, na seção
"realidade virtual". O modelo central está montado e também
realizado em "vrml" nessa seção. Ei-lo reproduzido de vários
pontos de vista :
Não se pode dizer que um ponto de vista corresponda
ao "acima" e o outro ao "abaixo", uma vez que essas
denominações são perfeitamente arbitrárias. Na imagem da esquerda, o ponto
"central" corresponde ao "ponto duplo" (em que duas folhas
se cruzam) do modelo central de Morin, enquanto o ponto central da imagem
à direita corresponde ao "ponto quádruplo" do mesmo modelo (em
que quatro folhas se cruzam). Tive de orientar o objeto com muita atenção,
de modo que a figura da esquerda não evoque uma suástica. À parte isso,
do ponto de vista arquitetônico, essa representação poliédrica do modelo
central de Morin poderia ter constituído um belo projeto de Casa da Cultura
Nacional-Socialista.
Uma última observação: não existe uma boa representação
poliédrica do reviramento da esfera (ou seja, do cubo). Por "boa"
entendo uma sucessão de modelos bastante explícitos que possam ser descritos
sob forma de folhas para recortar de modo relativamente fácil, como o modelo
acima. Haveria que fazer um estudo nessa direção, ao alcance de qualquer um,
mesmo um não-matemático, por exemplo um escultor. Mais de vinte anos atrás
eu era professor de escultura na Ecole des Beaux-Arts de Aix en Provence, na
época em que era diretor meu caro amigo Jacques Boullier. Foi naqueles locais
que nasceu a primeira representação meridiana da superfície de Boy por meio
de elipses, chave da construção da primeira equação implícita dada por Apéry.
Devo dizer que já na época fiquei surpreso com a imaginação geométrica
dos estudantes de arte, que muitas vezes superava a dos... geômetras.
Contador instalado em 31 de dezembro de 2001. Número de
conexões :