Esfera topologia modelos matemáticos
Italiano: Andrea Sambusetti, universidade de Roma
Clique aqui para ver o desenho do modelo em escala 1:1, para imprimir e recortar.
Fotocopiando quatro exemplares em cartolina de dois cores diferentes, você poderá construir o modelo sozinho, seguindo as instruções para montá-lo
Você certamente viu um objeto estranho girando ininterruptamente na parte esquerda da página inicial deste site. Do que se trata?
Um dia, quando encontrar tempo, instalaré neste site uma descrição do viramento da esfera, como eu o ilustrei no número de Pour la Science de janeiro de 1979, ou seja... há 22 anos! Isso exigirá muitos detalhes e uma introdução. O que significa "virar uma esfera"? Uma esfera não tem o mesmo significado para o homem comum e para o matemático-geômetra. Para o homem comum, não é outra coisa senão o conjunto dos pontos do espaço situados a uma distância R de um ponto O fixado. Um geômetra continuará a chamar "esfera", no entanto, mesmo um objeto que corresponda a uma "esfera deformada", como uma batata, por exemplo. Para compreender melhor estes conceitos, obtenha o CD do Lanturlu contendo a tirinha "Topologicon". Mas o matemático vai ainda mais longe. Uma superfície é dita "regular" quando em cada um dos seus pontos se pode definir um plano tangente. Isto já permite pensar em uma infinidade de deformações regulares possíveis da esfera, nas infinitas possíveis formas de uma batata, variando também de forma arbitrária a área desta superfície. Dito isto, no nosso universo físico, uma pessoa que tentar virar a esfera (levar a superfície interna para fora) se deparará com a impossibilidade de conseguir que sua superfície se atravesse a si mesma. Quando se assume esta hipótese, ou seja, proíbe-se que a superfície se atravesse a si mesma ou mesmo que apenas "toque", o matemático fala de "embebição" da esfera S2. Mas um matemático sempre pode tudo. Uma esfera é, para ele, um objeto "virtual" e não material, onde o atravessamento de uma folha é considerado possível. A sequência de desenhos abaixo mostra uma esfera que se atravessa a si mesma. Uma representação como esta, que admita ou não atravessamentos, é chamada de "imersão".
Uma imersão, portanto, possui um conjunto de interseções (aqui trata-se de uma simples curva circular). O plano tangente, no entanto, deve variar de forma contínua. Dito isto, ao olhar para o desenho acima, percebe-se claramente que a operação leva uma parte da superfície interna (representada em verde) para fora. Para completar o viramento, seria necessário esmagar este tipo de "intestino" equatorial. Aqui parece haver um problema: este esmagamento destruiria a continuidade do plano tangente, e esta transformação conteria, portanto, um passo que não é uma imersão.
Um dia, um matemático americano, Stephen Smale, demonstrou que "a esfera S2 possui uma única classe de imersões". Esta frase enigmática tinha como conseqüência que seria possível passar, por meio de uma transformação que contivesse apenas verdadeiras imersões, da esfera "padrão" para sua representação "antípoda", ou seja, em que cada ponto é trocado pelo seu antípoda: em outras palavras... uma esfera virada. Raoul Bott era o chefe de Smale. Tanto a demonstração formal deste fato parecia correta, tanto ninguém parecia capaz de realizar concretamente esta operação de virada. Bott continuava perguntando a Smale "me mostre como você pensaria em proceder"; ao que, Smale, notoriamente sem rodeios, respondia "não tenho a menor ideia". Smale recebeu posteriormente a medalha Fields, o equivalente ao Prêmio Nobel para a matemática. Por sinal, você se perguntará talvez por que não existe o Prêmio Nobel para a matemática. A resposta é simples: sua esposa fugiu com um matemático.
As coisas permaneceram assim por um bom tempo, até que um matemático americano chamado Anthony Phillips publicou em 1967, na Scientific American, uma primeira versão deste viramento, extremamente complexa. A segunda foi inventada no início dos anos setenta pelo matemático francês (não vidente) Bernard Morin. Fui o primeiro a desenhar a sequência das transformações, que será objeto, como eu anunciei, de um próximo artigo neste site, além de já bastante abondante. De qualquer forma, tudo isso nos leva a uma consideração. As superfícies podem ser representadas em forma poliédrica. Um cubo ou um tetraedro podem ser considerados representações poliédricas da esfera, no sentido de que estes objetos têm a mesma topologia. Sobre este ponto, consulte o meu Topologicon. Além disso, compreende-se que, se é possível virar a esfera, será igualmente possível virar um cubo. A transformação inventada por Bernard Morin (que ilustrei no artigo de janeiro de 1979 na Pour la Science) passa por um modelo central. Existe uma simetria nesta sequência. É aquela que chamo de "modelo central com 4 orelhas". Estou antecipando coisas. De qualquer forma, como a esfera se presta a representações poliédricas, o mesmo vale para os passos seguintes desta transformação. O que você vê girar na minha página inicial é a versão poliédrica do modelo central do viramento da esfera, que inventei há cerca de uma década. O interesse destes modelos poliédricos está no fato de que podem ser construídos com superfícies planas. Eles também podem ser construídos com papel e tesoura. Dê uma olhada no desenho abaixo (agradeço entre parênteses ao meu amigo Christophe Tardy, que produziu os elementos de tamanho correto).
É um plano de montagem, com uma visão geral aqui. Mas para imprimir, é preferível que você vá para a página de recorte. Imprima-a. Em seguida, com este exemplar impresso na papel comum da sua impressora, fotocopie quatro cópias idênticas, duas em cartolina verde e duas em amarelo. Você será capaz, com estes folhas para recortar, de construir o modelo central do viramento do cubo.
Nos elementos para recortar há pares de letras: a, b, c, d, e, f, etc. Basta dobrar o papel fazendo coincidir as mesmas letras, e depois fixar as faces com fita adesiva transparente. Os desenhos seguintes mostram a maneira de montar um dos quatro pedaços. Eis primeiro como você deve começar a dobrar um dos quatro elementos:
Aqui estão dois dos quatro elementos, vistos de ângulos diferentes.
Eles são então dispostos de forma a dar origem a um objeto com uma simetria de ordem quatro, alternando elementos verdes e amarelos. Para vê-lo em 3D, dê uma olhada na realização de Tardy, na seção "realidade virtual". O modelo central está montado e também realizado em "vrml" nesta seção. Aqui está reproduzido de diversos pontos de vista:
Não se pode dizer que um ponto de vista corresponda ao "acima" e outro ao "abaixo", já que estas denominações são perfeitamente arbitrárias. Na imagem da esquerda, o ponto "central" corresponde ao "ponto duplo" (i...