Transformação da Crosscap em superfície de Boy, através da superfície de Steiner Romena
Como transformar uma crosscap em uma superfície de Boy (esquerda ou direita, a escolha é sua), passando pela superfície de Steiner Romena.
**27 de setembro - 25 de outubro de 2003 **
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Tudo isso, como diria Kipling, é "grande truque e grande magia".
Estou aposentado, mas, poderia dizer, ainda faço um pouco de pesquisa, apesar de mim, como outros alinham fileiras de tricot. Se você tiver paciência e conseguir folhas de cartolina de 200 g quadriculadas, poderá facilmente reconstruir todos esses modelos. Meu amigo Christophe Tardy está montando uma animação a partir disso, que deve ser muito boa.
A Cross cap aparecerá nos desenhos que seguem, bem como a superfície de Steiner Romena. Mas você pode conhecê-los indo para a seção Realidade Virtual, que exige que você tenha baixado o Cosmoplayer em seu computador. Faça isso, é realmente legal. Tudo acontece graças aos "pontos cuspídeos". Esses pontos se formam naturalmente quando você monta em um cavalo e aperta as pernas de uma vez. O corpo do cavalo então fica achatado ao longo de um segmento. A coxa esquerda se conecta então com o ombro direito, enquanto a coxa direita se conecta com o ombro esquerdo. Quanto ao ponto cuspídeo, não o procure: você está simplesmente sentado sobre ele;
Mas tudo isso é ... um pouco desajeitado. Vamos para uma "representação poliédrica" do ponto cuspídeo (assim como um cubo ou um tetraedro podem ser considerados representações poliédricas de uma simples esfera). A linha grossa representa a "curva de auto-interseção", terminada, aliás, pelo ponto cuspídeo C.
Imprima essas folhas, valerá a pena. No que se segue, você precisará reconhecer um ponto cuspídeo em "diferentes configurações" e não confundi-lo com um simples vértice do poliedro. Construa, se tiver coragem, esses diferentes objetos com cartolina, você os entenderá melhor. Abaixo temos uma operação essencial, chamada de "criação-decréação de um par de pontos cuspídeos". O primeiro desenho representa um tipo de cilindro que se sobrepõe a si mesmo ao longo da linha grossa e cuja seção lembra a letra grega gama, de cabeça para baixo. Em seguida, essa superfície é deformada apertando o tubo cuja seção tem a forma de uma "lágrima de cabeça para baixo". Essa lágrima se degenera em um ponto S. Em seguida, esse ponto se divide em dois pontos cuspídeos. É a criação de um par. A operação inversa faz dois pontos cuspídeos se anularem. Abaixo você encontra a versão poliédrica da operação.
Abaixo, outra representação poliédrica da transformação, que é próxima do que você verá acontecer na superfície em seguida.
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