Transformação da Cross Cap em superfície de Boy, através da superfície de Steiner Romena
Como transformar uma crosscap em uma superfície de Boy (esquerda ou direita, a escolha é sua) passando pela superfície de Steiner Romena.
27 de setembro - 25 de outubro de 2003
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Aqui está uma Cross Cap (como você a terá descoberto nas imagens de realidade virtual). Ela possui dois pontos cuspídeos que delimitam uma linha de auto-interseção. Você pode fabricá-la apertando um balão com um ferro de passar. Mas você também pode construir representações poliédricas. A do fundo nos interessará especialmente.
Na estaquim 4 está o momento mais difícil de compreender. Acho que é praticamente impossível que alguém comum compreenda estas figuras apenas olhando os desenhos. Construa estes modelos. Em outras palavras, puxamos o ponto cuspídeo C2 para "dentro da superfície" (o que, por sinal, não tem nenhum sentido, pois, você certamente notou imediatamente, a Cross Cap é unilateral. Ao insistir, a superfície se auto-intersecta e o conjunto de auto-interseção se completa, em "rondouillard" por uma curva em forma de 8. Nesse momento, um ponto triplo T é criado.
A superfície é mais compreensível em sua forma poliédrica e, no fundo, aumentamos alguns elementos para mostrar o que nos leva a transformar este objeto em uma superfície de Steiner Romena (ver realidade virtual), cuja forma poliédrica mais simples consiste em montar quatro cubos (aqui vemos apenas três).
Placa 5: o poliédrico à esquerda, o "rondouillard" à direita. A seta pega um caminho que vamos "apertar". Embaixo, o início do apertamento.
Placa 6: o apertamento é feito criando um ponto singular B. Na verdade, como apertamos dos dois lados, para ganhar tempo; formam-se dois pontos singulares S1 e S1 e duas pares de pontos cuspídeos. Lá, sem cartolina, tesoura e fita adesiva, você está em apuros.
Placa 7: simplesmente fizemos migrar os diferentes pontos cuspídeos. Se o ponto C2 é "óbvio", você terá mais dificuldade em identificar os pontos C3 e C4 como pontos cuspídeos. Eles estão, no entanto, presentes nas extremidades de uma linha de auto-interseção. Acima do ponto C3 está simplesmente o que chamei de "posicoin", um ponto de concentração de curvatura positiva (um ponto de concentração de curvatura negativa é um "négacoin"). Ao deformar um pouco este objeto, você chega a uma forma poliédrica da superfície de Steiner Romena (superfície de quarto grau inventada por Steiner em Roma. Ver sua apresentação em realidade virtual).
Portanto, o truque está feito. Existem diferentes tipos de superfícies, de acordo com as regras que você se impõe. As superfícies que não se cruzam são chamadas de mergulhos (da esfera, do toro em R3). Quando elas se cruzam, mas o plano tangente varia continuamente, são chamadas de imersões. Exemplo: a garrafa de Klein em sua representação clássica. Não existe em R3 uma representação da garrafa de Klein como mergulho. Ela necessariamente se cruza. As imersões possuem conjuntos de auto-interseção isentos de pontos cuspídeos. Essas curvas são contínuas, mas podem se cruzar onde há pontos duplos ou triplos. Observação: a esfera pode ser apresentada como uma imersão, simplesmente fazendo-a se cruzar. É assim que se consegue virá-la (A. Phillips, 1967, com etapa central o revestimento de duas folhas de uma superfície de Boy; B. Morin e J.P. Petit, 1979 com modelo central o modelo de quatro orelhas de Morin, aqui apresento uma representação poliédrica que inventei há cerca de uma década.
Plano para montagem deste objeto
com o uso de um corte
Se estendermos a regra do jogo, assumindo que estes objetos possuem pontos cuspídeos, obtemos submersões (a Cross Cap, a superfície de Steiner Romena). Não sei se é a palavra exata, mas como não encontrei nenhum matemático que pudesse me esclarecer, achei divertido inventar um, provisoriamente, até que um geômetra especialista se manifeste. Assim, a Cross Cap e a superfície de Steiner Romena seriam submersões do "plano projetivo".
Para dizer a verdade, após minhas dificuldades com MHD ao longo de vinte e cinco anos, comecei estes trabalhos porque me pareciam tão distantes quanto possível de qualquer aplicação militar. Mas, como meu velho amigo Mihn observou, o termo submersão pode causar confusão e deixar entender para a Marinha Nacional que, por meio dessas pesquisas, eu tentaria esconder alguma descoberta em propulsão subaquática.
A regra de "criação-destruição" de pares de pontos cuspídeos permite passar de uma submersão de um objeto a outra e é isso que acabamos de fazer mostrando que a Cross Cap e a superfície de Steiner Romena são duas submersões de um mesmo objeto chamado plano projetivo. Não procure se perguntar como parece um "plano projetivo". Este objeto só pode ser compreendido através de suas diferentes representações. Quanto à palavra plano projetivo, é apenas uma entre milhares de outras inventadas pelos matemáticos para confundir aqueles que desejam penetrar em seu círculo fechado. O Larousse não lhe será útil em matemática.
Nos resta então passar para a superfície de Boy, que é uma imersão do plano projetivo
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