Transformação da Crosscap em superfície de Boy, através da superfície de Steiner Romena

Transformação da Crosscap em superfície de Boy, através da superfície de Steiner Romena

Como transformar uma crosscap em uma superfície de Boy (direita ou esquerda, a escolha é sua), passando pela superfície de Steiner Romena.

**27 de setembro de 2003 **

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Agora apresenta-se o modelo sob outro ângulo :

Placa 14: Repete-se a mesma operação criando a terceira "orelha" da curva de auto-interseção. Na forma poliédrica, ela tem a forma de três quadrados com um vértice comum: o ponto triplo T .

Placa 15: Ao girar o objeto, você encontra a versão poliédrica da superfície de Boy que eu havia incentivado e apresentado no Topologicon (onde há um recorte que permite construí-la).

Última placa: tentei representar a superfície de Steiner (de quarto grau, enquanto a Boy é de sexto grau) enquanto se contorciona e se transforma em superfície de Boy.

Pode-se ver que, em "redondilha", é preciso uma grande experiência para compreender o objeto. Nosso olho fica muito inquieto ao tentar compreender um objeto onde, em uma mesma linha de visão, se sobrepõem mais de duas camadas. Daí a importância do poliédrico, que torna acessíveis ao público em geral transformações consideradas sofisticadas na geometria, desde que as pessoas façam o esforço de construir os modelos por si mesmas. Ao passo que se observa que, segundo as pares de pontos cuspidais escolhidos, obtém-se uma superfície de Boy "direita" ou "esquerda" (palavras totalmente arbitrárias). O plano projetivo se imerge segundo duas representações "enantiomorfas", em espelho. Pode-se ver que é possível passar de uma Boy direita a uma Boy esquerda através de um modelo "central" que é a superfície de Steiner Romena.

Seria certamente agradável que tais desenhos fossem publicados na Pour la Science ou na La Recherche. Mas, há vinte anos, estou "proibido de publicação" em tais revistas por causa de uma deviação ovni. Obrigado, senhores Hervé This e Philippe Boulanger. Não conto mais os artigos desse tipo que enviei a essas revistas e que me foram polidamente devolvidos. Acaba-se por se acostumar com o status de excomungado.

Como curiosidade, existe na França um "prêmio Alembert" destinado a recompensar autores de livros de divulgação matemática. A história foi contada por um membro da comissão encarregada de determinar a quem deveria ir o prêmio (há alguns trocados em jogo). Diálogo:

• Mas afinal, não poderíamos atribuir o prêmio a Petit? Ele fez obras notáveis como o Géométricon, o Trou Noir e o Topologicon.

• Sim, mas ele não fez apenas esses álbuns.

• A que você está se referindo?

• Ele também escreveu o Mur du Silence.

• Ah, nesse caso...

Sim, o Mur du Silence, publicado em 83, é um álbum dedicado à MHD. E, como todos sabem, esta ciência sulfurosa tem a virtude, ou a malícia, de permitir que os discos voadores evoluam a velocidade supersônica sem fazer "Bang".

Esconda esta ciência, que eu não posso vê-la

Tenho em meus armários uma versão do "virar do cubo" excelente com um modelo central de toda beleza, que não é a versão poliédrica da variante de Morin. Tudo é meu. Um dia desses....

22 de outubro de 2003: Não há muita procura por estas páginas, se acredito no número do contador. Eu dei, no dia 13 de outubro de 2003, uma palestra no CMI (Centro de Matemática e Informática de Château-Gombert-Marselha) convidado por Trotman. Nessa ocasião, pude alinhar uma coleção de cerca de trinta modelos de papelão, dos quais vocês terão a primazia em breve, pois foram fotografados por Christophe Tardy.

Quando se dá uma palestra, uma atmosfera se estabelece. Na foto seguinte, um geômetra que expressa sua perplexidade.

No fundo, parte dos modelos expostos. Em um momento, eu perguntei:

- Quais de vocês já viram uma superfície de Steiner Romena? Levantem a mão.

Ninguém nunca tinha visto. Então, achei útil apresentar o objeto, na verdade virtual, no notebook que eu trouxe, objeto realizado com a colaboração de Christophe Tardy, engenheiro, e de Frédéric Descamp, do Instituto Laue Langevin de Grenoble (ILL). Claramente, essa apresentação desorientou a plateia, pouco acostumada a ver superfícies matemáticas girando livremente.

Dois painéis de papelão, visíveis na primeira linha, permitiram apresentar a sequência dos modelos em sua ordem lógica. Os modelos "verde e amarelo" ilustram, em forma poliédrica, a ferramenta essencial para a criação e destruição de um par de pontos cuspidais. O objeto branco mais distante é uma versão poliédrica da Cross Cap, que primeiro se transforma em versão poliédrica da superfície de Steiner Romena, um metro mais longe, e depois, à vontade, em superfície de Boy "direita" ou "esquerda".

A análise dos modelos levou a diferentes observações da plateia. Um dos geômetras perguntou:

- Se, seguindo os modelos nesse sentido, podemos passar da Cross Cap para a Boy, parece que ao contrário devemos poder transformar uma Boy em Cross Cap.

Respondi afirmativamente. Encorajado, meu interlocutor acrescentou:

- Se, ao chegar à fase da superfície de Steiner Romena, paramos, então é possível voltar para uma superfície de Boy em espelho.

Aprovo novamente. Mas infelizmente ninguém se oferecerá para esclarecer sobre esse mundo estranho onde se dotam imersões de superfícies fechadas de pontos cuspidais, criados ou anulados aos pares, constituindo uma espécie de extensão do mundo das imersões. A palavra "submersões" me pareceria apropriada. Se um leitor encontrar esclarecimentos sobre isso, eles serão bem-vindos.

Curvatura concentrada em um ponto cuspidal

Ela será calculada somando os ângulos no vértice e comparando essa soma com a soma euclidiana: 2 p .

Em cima e à esquerda, mostramos uma das múltiplas representações poliédricas do ponto cuspida. O "desmonte" do objeto (à direita) leva a uma soma que excede a soma euclidiana 2 p em uma quantidade 2 a . Concluímos que a curvatura angular concentrada no entorno desse ponto C é - 2 a . Se o ângulo a for igual a p/2, então a curvatura negativa vale **c **(figura embaixo e à esquerda). Na verdade, a curvatura concentrada em um ponto cuspida pode assumir um número infinito de valores. Embaixo e à direita, aumentamos a soma angular e a curvatura então < 2 a . Aumentamos a curvatura negativa.

Operando de forma inversa, pode-se chegar a uma situação bastante surpreendente: garantir que a curvatura (angular) concentrada em C seja ... nula:

Agora podemos partir de uma representação poliédrica da Crosscap com dois pontos cuspida que correspondem cada um a uma curvatura negativa igual a - p :

Há oito "posicoins" correspondendo a um valor + p/2. Adicionamos quatro outros "posicoins" com curvatura + p/4 e quatro "negacoins" com curvatura - p/4

Mais os dois pontos cuspida com curvatura - p .

Total: 2 p

Ao dividir essa curvatura total por 2 p, recuperamos a característica de Euler-Po...