Modelo central (poliédrico) do virar do cubo
O modelo central do virar do cubo
31 de dezembro de 2001
Você já viu, ininterruptamente, um objeto estranho girando na parte esquerda da página inicial do site. Do que se trata?
Um dia, quando tiver tempo, colocarei no site uma descrição do virar da esfera, como eu o ilustrei no número de janeiro de 1979 da Pour la science, ou seja, há ... 22 anos atrás. Tudo isso evidentemente exigiria muitos detalhes e uma introdução. Virar uma esfera, o que significa isso? Uma esfera não tem o mesmo significado para o homem da rua e para o matemático-geômetra. Para o homem da rua, ela é definida como sendo, num espaço tridimensional, o conjunto dos pontos situados a uma distância R de um ponto fixo O desse espaço. Um geômetra continuará a chamar de "esfera" um objeto que corresponderia a uma "esfera deformada", uma espécie de "batata". Para compreender melhor todos esses conceitos, compre o CD Lanturlu que contém a banda desenhada "Le Topologicon". Mas o matemático vai ainda mais longe. Quando uma superfície é dita "regular", pode-se definir, em cada um dos seus pontos, um plano tangente. Isso já permite considerar uma infinidade de deformações da "esfera inicial" em uma infinidade de batatas, quando, além disso, a área da dita superfície pode ser qualquer. Nesse caso, em um "universo físico", a pessoa que deforma essa esfera se depara com a impossibilidade de fazê-la atravessar-se a si mesma. Se tais atravessamentos ou até mesmo tais contatos são proibidos, fala-se então de "embelezamentos" da esfera S2. Mas um matemático se dá todos os direitos. Uma esfera é, para ele, um objeto "virtual" onde os atravessamentos de folhas tornam-se possíveis. A sequência de desenhos a seguir mostra uma esfera que se "autotraspassou". Chama-se então dessa representação da esfera uma "imersão".
Uma imersão possui um conjunto de interseções ou auto-interseções (aqui, uma simples curva circular). O plano tangente deve variar continuamente. Nesse caso, quando se olha os desenhos acima, vê-se que a operação gira bem uma parte (representada pela cor verde) do interior da esfera para fora. Para concluir tal virar, seria necessário esmagar esse tipo de "barriga equatorial". A coisa parece a priori problemática. Esse esmagamento quebraria a continuidade do plano tangente. A operação incluiria então uma etapa que não seria uma imersão.
Um dia, um matemático americano, Stephen Smale, demonstrou que "a esfera S2 possuía apenas uma classe de imersão". O corolário dessa frase enigmática era que deveria ser possível encadear uma sequência de imersões da esfera para passar da "esfera padrão" para sua representação "antípoda", ou seja, onde todos os pontos teriam sido substituídos pelos seus antípodas. Em resumo, uma esfera virada, frente e verso. Raoul Bott era o chefe de Smale. Tanto a demonstração do último, puramente formal, parecia impecável, quanto ninguém via como realizar a operação. Bott dizia constantemente a Smale "mostre-me como você imaginaria proceder", a que Smale, com seu famoso cabelo na língua, respondia "não tenho a menor ideia". Smale recebeu posteriormente a medalha Field, equivalente ao Nobel, mas para as matemáticas. Ao passo, você se perguntará talvez por que Nobel nunca quis criar um prêmio Nobel de matemática. A resposta é simples: sua esposa saiu com um matemático.
As coisas permaneceram assim por muitos anos até que um matemático americano chamado Anthony Phillips publicou em 1967 na Scientific American uma primeira versão desse virar, extremamente complicada. A segunda foi inventada no início dos anos sessenta por um matemático francês (cego) Bernard Morin. Fui o primeiro a desenhar essa sequência de transformações que, já disse, será o objeto de um próximo artigo no site, bastante extenso, aliás. De qualquer forma, isso nos leva a uma conclusão secundária. As superfícies podem ser representadas de forma poliédrica. Um cubo ou um tetraedro podem ser considerados como representações poliédricas da esfera, na medida em que esses objetos têm a mesma topologia. Sobre esse ponto, consulte minha BD Le Topologicon. Além disso, compreende-se que se é possível virar uma esfera, também é possível virar um cubo. A transformação inventada por Bernard Morin (que ilustrei no artigo de janeiro de 1979 da Pour la science) passa por um modelo central. Existe uma simetria nessa sequência. Isso é chamado de "modelo central com quatro orelhas". Novamente, antecipo. Mas assim como a esfera pode se prestar a representações poliédricas, o mesmo acontece com as etapas sucessivas dessas transformações. O objeto que você vê girando na minha página inicial é, assim, a versão poliédrica do modelo central do virar da esfera, um modelo que inventei há cerca de uma década. O interesse desses modelos poliédricos é que podem ser construídos com superfícies planas. Eles podem até ser organizados com cortes. Dê uma olhada no desenho a seguir (em passagem, agradeço ao meu amigo Christophe Tardy, que produziu os elementos corretamente cotados).
**Este é um desenho que sairia na sua impressora em pequeno formato, inutilizável. **
Para imprimir esta figura em uma folha A4
É necessário fazer quatro cópias em papel A4 grosso, duas folhas de uma cor, duas folhas de outra cor
Este é um corte que você tem aqui uma visão geral. Mas para imprimir, é melhor que você vá para a página corte. Imprima-a. Em seguida, com esse exemplar impresso no papel normal da sua impressora, vá a uma copiadora e faça quatro cópias idênticas deste desenho, duas em duas folhas de cartolina verde e duas em folhas amarelas. Você será capaz, com este corte, de construir o modelo central do virar do cubo.
Você tem, nestes elementos cortados, pares de letras: a, b, c, d, e, f etc. Basta fazer os dobras levando as mesmas letras em coincidência, depois unir essas faces com fita adesiva transparente. Os desenhos que se seguem mostram como montar um dos quatro elementos. Aqui está primeiro como você deve começar a dobrar um dos quatro elementos:
Aqui estão dois desses quatro elementos, vistos de ângulos diferentes.
Esses elementos se encaixam para dar um objeto com simetria de ordem quatro ou alternar elementos verdes e amarelos. Para ver isso em 3D, dê uma olhada nas realizações do Sr. Tardy, em "realidade virtual". O modelo central totalmente montado também é produzido em "vrml" nesta seção. Aqui está esse objeto, visto de diferentes ângulos:
Não se pode dizer que uma vista corresponda ao "topo" e a outra ao "fundo", pois essas denominações seriam totalmente arbitrárias. Na vista da esquerda, o ponto "central" corresponde ao "ponto duplo" ...