Modelo central (poliédrico) do virar do cubo
O modelo central do virar do cubo
31 de dezembro de 2001
Você já viu, ininterruptamente, um objeto estranho girando na parte esquerda da página inicial do site. Do que se trata?
Um dia, quando tiver tempo, instalará no site uma descrição do virar da esfera, como eu o ilustrei no número de janeiro de 1979 da Pour la science, ou seja, há ... 22 anos. Isso evidentemente exigiria muitos detalhes e introdução. Virar uma esfera, o que significa isso? Uma esfera não tem o mesmo significado para o homem da rua e o matemático-geômetra. Para o homem da rua, ela é definida como o conjunto dos pontos situados a uma distância R de um ponto fixo O desse espaço. Um geômetra continuará a chamar "esfera" um objeto que corresponderia a uma "esfera deformada", uma espécie de "batata". Para compreender melhor todos esses conceitos, adquira o CD Lanturlu que contém a quadrinha "Le Topologicon". Mas o matemático vai ainda mais longe. Quando uma superfície é dita "regular", pode-se definir em cada um dos seus pontos um plano tangente. Isso já permite considerar uma infinidade de deformações da "esfera inicial" em uma infinidade de batatas, quando, além disso, a área da dita superfície pode ser qualquer. Nesse caso, em um "universo físico", a pessoa que deforma essa esfera se deparará com a impossibilidade de fazê-la atravessar-se a si mesma. Se essas atravessas ou mesmo esses contatos forem proibidos, falar-se-á então de imersões da esfera S2. Mas um matemático se dá todos os direitos. Uma esfera é, para ele, um objeto "virtual" onde as atravessas de folhas tornam-se possíveis. A sequência de desenhos a seguir mostra uma esfera que se "autotraspassou". Chama-se então dessa representação da esfera uma imersão.
Uma imersão possui um conjunto de interseções ou auto-interseções (aqui uma simples curva circular). O plano tangente deve variar continuamente. Nesse sentido, quando se olha os desenhos acima, vê-se que a operação gira bem uma parte (representada pela cor verde) do interior da esfera para fora. Para concluir tal virar, seria necessário esmagar esse tipo de "barriga equatorial". A coisa parece a priori problemática. Esse esmagamento quebraria a continuidade do plano tangente. A operação incluiria então uma etapa que não seria uma imersão.
Um dia, um matemático americano, Stephen Smale, demonstrou que "a esfera S2 possuía apenas uma classe de imersão". O corolário dessa frase enigmática era que deveria ser possível encadear uma sequência de imersões da esfera permitindo passar da "esfera padrão" para sua representação "antípoda", ou seja, em que todos os pontos teriam sido substituídos pelos seus antípodas. Em resumo ... uma esfera virada, frente-verso. Raoul Bott era o chefe de Smale. Tanto a demonstração do último, puramente formal, parecia impecável, quanto ninguém via como proceder para realizar a operação. Bott dizia constantemente a Smale "mostre-me como você imaginaria proceder", a que Smale, com seu famoso cabelo na língua, respondia "não tenho a menor ideia". Smale recebeu posteriormente a medalha Field, equivalente ao Prêmio Nobel, mas para as matemáticas. Ao passo, você se perguntará talvez por que Nobel nunca quis criar um Prêmio Nobel de matemática. A resposta é simples: sua esposa saiu com um matemático.
As coisas permaneceram assim por muitos anos até que um matemático americano chamado Anthony Phillips publicou em 1967 na Scientific American uma primeira versão desse virar, extremamente complicada. A segunda foi inventada no início dos anos sessenta por um matemático francês (cego) Bernard Morin. Fui o primeiro a desenhar essa sequência de transformações que fará, já disse, o objeto de um próximo artigo no site, bastante extenso, aliás. De qualquer forma, isso nos leva a uma conclusão adicional. As superfícies podem ser representadas poliedralmente. Um cubo ou um tetraedro podem ser considerados como representações poliedrais da esfera, na medida em que esses objetos têm a mesma topologia. Sobre esse ponto, consulte minha BD Le Topologicon. Além disso, compreende-se que se é possível virar uma esfera, também é possível virar um cubo. A transformação inventada por Bernard Morin (que ilustrei no artigo de janeiro de 1979 da Pour la science) passa por um modelo central. Existe uma simetria nessa sequência. Isso é chamado de "modelo central com quatro orelhas". Novamente, antecipo. Mas assim como a esfera pode se prestar a representações poliedrais, o mesmo acontece com as etapas sucessivas dessas transformações. O objeto que você vê girando na minha página inicial é, assim, a versão poliedral do modelo central do virar da esfera, um modelo que inventei há cerca de uma década. O interesse desses modelos poliedrais é que podem ser construídos com superfícies planas. Pode-se até mesmo organizá-los com cortes. Dê uma olhada no desenho a seguir (em passagem, agradeço ao meu amigo Christophe Tardy, que produziu os elementos corretamente cotados).
**Este é um desenho que sairia na sua impressora em pequeno formato, inutilizável. **
Para imprimir esta figura em uma folha A4
É necessário fazer quatro cópias em papel A4 pesado, duas folhas de uma cor, duas folhas de outra
Este é um corte que você tem aqui uma visão geral. Mas para imprimir, é melhor que você vá para a página corte. Imprima-a. Em seguida, com esse exemplar impresso no papel normal da sua impressora, vá a uma copiadora e faça quatro cópias idênticas deste desenho, duas em duas folhas de cartão verde e duas em amarelas. Você será capaz, com este corte, de construir o modelo central do virar do cubo.
Você tem, sobre esses elementos cortados, pares de letras: a, b, c, d, e, f etc. Basta fazer os dobras levando as mesmas letras em coincidência, depois unir essas faces com fita adesiva transparente. Os desenhos que se seguem mostram a forma de montar um dos quatro elementos. Aqui está primeiro como se deve começar a dobra de um dos quatro elementos:
Aqui estão dois desses quatro elementos, vistos de ângulos diferentes.
Esses elementos se encaixam para dar um objeto com simetria de ordem quatro ou alternam elementos verdes e amarelos. Para ver isso em 3D, dê uma olhada nas realizações do Sr. Tardy, em "realidade virtual". O modelo central totalmente montado também é produzido em "vrml" nesta seção. Aqui está esse objeto, visto de diferentes ângulos:
Não se pode dizer que uma vista corresponda ao "acima" e outra ao "abaixo", pois essas denominações seriam totalmente arbitrárias. Na vista da esquerda, o ponto "central" corresponde ao "ponto duplo" ...