Como transformar uma crosscap em superfície de Boy (direita ou esquerda, à escolha) passando pela superfície Romana de Steiner.
27 de setembro - 25 de outubro de 2003
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Tudo isso, como diria Kipling, é "grande astúcia e força mágica".
Estou aposentado mas, poderia dizer, continuo fazendo um pouco de pesquisa, apesar de mim, como outros alinham fileiras de tricô. Se você tiver paciência e conseguir folhas de cartolina de 200 g quadriculadas, poderá facilmente reconstituir todos esses modelos. Meu amigo Christophe Tardy está montando a partir disso uma animação, que deverá ser bem legal.
A Cross cap aparecerá nos desenhos que virão a seguir, assim como a superfície Romana de Steiner. Mas você pode descobri-las indo à seção Realidade Virtual, que requer que você tenha baixado o Cosmoplayer em sua máquina. Faça isso, é realmente legal. Tudo se dá graças aos "pontos cuspidais". Esses pontos se formam naturalmente quando você monta em um cavalo e aperta as pernas de repente. O corpo do cavalo fica então esmagado segundo um segmento. Sua coxa esquerda se conecta então com seu ombro direito, enquanto sua coxa direita se conecta com seu ombro esquerdo. Quanto ao ponto cuspidal, não o procure: você está simplesmente sentado sobre ele;
Mas tudo isso é... arredondado. Passemos a uma "representação poliédrica" do ponto cuspidal (assim como um cubo ou um tetraedro podem ser considerados representações poliédricas de uma simples esfera). O traço grosso representa a "curva de auto-interseção", terminada aliás pelo ponto cuspidal C.
Imprima estas pranchas, será melhor. No que se seguirá você precisará reconhecer um ponto cuspidal em "diferentes configurações" e não confundi-lo com um simples vértice do poliedro. Construa, se tiver coragem, esses diferentes objetos com papelão, você os compreenderá melhor. A seguir temos uma operação essencial, dita de "criação-destruição de um par de pontos cuspidais". O primeiro desenho representa uma espécie de cilindro que se recorta a si mesmo segundo o traço grosso e cuja seção evoca a letra grega gama, invertida. Deforma-se então essa superfície apertando o tubo cuja seção tem a forma de uma "lágrima invertida". Essa lágrima degenera segundo um ponto S. Depois esse ponto se desdobra dando dois pontos cuspidais. É a criação de um par. A operação inversa faz aniquilarem-se dois pontos cuspidais. Abaixo você encontra a versão poliédrica da operação.
A seguir outra representação poliédrica da transformação que é próxima do que você verá acontecer na superfície em seguida.
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