Como transformar uma crosscap em superfície de Boy (direita ou esquerda, à escolha) passando pela superfície Romana de Steiner.
27 de setembro - 25 de outubro de 2003
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Eis uma Cross Cap (tal como você a terá descoberto nas imagens de realidade virtual).
Ela comporta dois pontos cuspidais que margeiam uma linha de auto-interseção.
Pode-se fabricá-la apertando um balão com um ferro de frisar.
Mas você também pode construir representações poliédricas dela.
A de baixo nos interessará particularmente.
Nesta prancha 4 situa-se o momento
mais difícil de apreender. Parece-me quase
impossível que o primeiro que chegue compreenda essas figuras olhando
simplesmente os desenhos. Construa essas maquetes. Em claro, puxa-se o ponto
cuspidal C2 para "o interior da superfície"
(o que, aliás, não tem nenhum sentido, pois, você provavelmente já terá notado
imediatamente, a Cross Cap é unilateral. Insistindo, a superfície
se auto-atravessa e o conjunto de auto-interseção se completa, em "arredondado",
por uma curva em forma de 8. Cria-se, de passagem, um ponto triplo T.
A superfície é mais compreensível
sob sua forma poliédrica e, embaixo, ampliamos certos elementos
para mostrar o que nos incita a transformar este objeto em Superfície Romana
de Steinder (ver a realidade virtual), cuja forma poliédrica
mais simples consiste em montar quatro cubos (aqui só se vê
três).
Prancha 5: O poliédrico à
esquerda, o arredondado à direita. A flecha percorre uma passagem
que vamos "apertar". Embaixo, o início do apertamento.
Prancha 6: o apertamento é efetuado
criando um ponto singular B. Na verdade, como se aperta dos dois
lados, para ganhar tempo; formam-se dois pontos singulares
S1 e S1 e depois dois pares de pontos cuspidais. Aí, sem
cartolina, tesoura e fita adesiva, você está mal.
Prancha 7: simplesmente fizemos migrar
os diferentes pontos cuspidais. Se o ponto C2 é "evidente",
você terá um pouco mais de dificuldade para identificar os pontos C3 e C4
como pontos cuspidais. Eles estão, no entanto, presentes na extremidade de uma
linha de auto-interseção. Acima do ponto C3 encontra-se simplesmente
o que chamei de "posicanto", um ponto de concentração
de curvatura positiva (um ponto de concentração de curvatura negativa
é um "negacanto"). Deformando um pouquinho este objeto,
cai-se numa forma poliédrica da superfície Romana de Steiner (superfície
do 4º grau inventada por Steiner em Roma. Ver
sua apresentação em realidade virtual).
Portanto, o truque está feito. Existem
diferentes tipos de superfícies, segundo as regras que se impõem.
As superfícies que não se cruzam consigo mesmas são ditas mergulhos
(da esfera, do toro em R3). Quando se cruzam mas
o plano tangente varia continuamente, chamam-se imersões.
Exemplo: a garrafa de Klein em sua representação clássica. Não
existe em R3 representação da garrafa de Klein
sob forma de mergulho. Ela necessariamente se cruza consigo mesma.
As imersões possuem conjuntos de auto-interseção isentos
de pontos cuspidais. Essas curvas são contínuas mas podem se cruzar
onde se encontram pontos duplos ou triplos. Observação: a
esfera pode se apresentar sob forma de uma imersão, fazendo-a
simplesmente se cruzar consigo mesma. É aliás assim que se
consegue virá-la (A.Phillips, 1967, com como etapa central
o revestimento de duas folhas de uma superfície de Boy; B.Morin e
J.P.Petit, 1979 com como modelo central o modelo de quatro
orelhas de Morin, do qual segue abaixo uma representação poliédrica
que inventei há uns dez anos.
Plano para montagem deste objeto
com auxílio de um recorte
Se se estende a regra do jogo
supondo que esses objetos possuem pontos cuspidais, obtêm-se
submersões (a Cross Cap, a Superfície Romana de Steiner). eu não
sei se é a palavra exata, mas como não encontrei nenhum matemático
que pudesse me esclarecer, achei divertido inventar uma, provisoriamente,
até que um geômetra-especialista se manifeste. Assim
a Cross Cap e a Superfície Romana de Steiner seriam submersões do "plano
projetivo".
Para lhe dizer tudo, depois dos meus reveses
em matéria de MHD ao longo de vinte e cinco anos, eu tinha iniciado
esses trabalhos porque me pareciam tão distantes quanto possível
de qualquer aplicação militar. Mas, como observava meu velho
amigo Mihn, o termo submersão poderia prestar-se a confusão e deixar
subentender à Marinha Nacional que, através dessas pesquisas,
eu tentaria esconder algum avanço em matéria de propulsão
submarina.
A regra de "criação-destruição"
de pares de pontos cuspidais permite passar de uma submersão de um objeto a
outra e foi o que acabamos de fazer ao mostrar que a Cross Cap
e a Superfície Romana de Steiner eram duas submersões de um mesmo
objeto chamado plano projetivo. Não procure saber a que se parece
um "plano projetivo". Este objeto só pode ser apreendido
através de suas diferentes representações. Quanto à palavra plano projetivo,
não é mais que uma entre mil outras inventadas pelos matemáticos
para desorientar os que quisessem penetrar em seu círculo
fechado. O Larousse não lhe será de nenhuma utilidade em matemática.
Resta-nos então passar à superfície de
Boy, que é uma imersão do plano projetivo
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de uma Cross Cap em Boy "
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