Como transformar uma crosscap em superfície de Boy (direita ou esquerda, à escolha) passando pela superfície Romana de Steiner.
27 de setembro de 2003
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Apresenta-se então o modelo sob outro ângulo:
Prancha 14: Repete-se a mesma operação, criando a terceira "orelha" da curva de auto-interseção. Na versão poliédrica, esta assume a forma de três quadrados com um vértice comum: o ponto triplo T.
Prancha 15: Ao girar o objeto, reencontra-se a versão poliédrica da superfície de Boy que eu havia inventado e apresentado no Topologicon (onde se encontra um gabarito permitindo sua construção).
Última prancha: Tentei representar a superfície de Steiner (de 4º grau, enquanto a de Boy é de sexto) contorcendo-se e transformando-se na superfície de Boy.
Vê-se que, em forma arredondada, é preciso ter bastante prática para compreender o objeto. Nosso olho fica muito desconfortável quando se trata de entender um objeto onde, sobre uma mesma linha de visão, se sobrepõem mais de duas superfícies. Daí o interesse da abordagem poliédrica, que coloca ao alcance de todos transformações consideradas sofisticadas em geometria, desde que as pessoas façam o esforço de construir os modelos elas mesmas. Aproveitamos para notar que, dependendo dos pares de pontos cuspidaus escolhidos, obtém-se uma superfície de Boy "direita" ou "esquerda" (termes totalmente arbitrários). O plano projetivo imerge-se segundo duas representações "enantiomorfas", espelhadas. Vê-se que se pode passar de uma Boy direita para uma Boy esquerda através de um modelo "central", que é a superfície Romana de Steiner.
Seria sem dúvida agradável que desenhos como estes fossem publicados em Pour la Science ou La Recherche. Mas há vinte anos estou "banido de publicação" nessas revistas por causa de desvios ufológicos. Obrigado, senhores Hervé This e Philippe Boulanger. Perdi a conta dos artigos desse tipo que enviei a essas revistas e que me foram educadamente devolvidos. Acabamos nos acostumando com nosso status de excomungado.
A título de anedota, existe na França um "prêmio d'Alembert" destinado a recompensar autores de livros de divulgação em matemática. A história me foi contada por um membro da comissão encarregada de determinar a quem deveria ser atribuído o prêmio (há, afinal, algum dinheiro envolvido). Diálogo:
-
Mas, afinal, não poderíamos atribuir o prêmio a Petit? Ele fez obras notáveis como o Géométricon, o Trou Noir e o Topologicon.
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Sim, mas ele não fez apenas esses álbuns.
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A que você se refere?
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Ele também escreveu o Mur du Silence.
-
Ah, nessas condições...
Pois é, o Mur du Silence, publicado em 83, é um álbum dedicado à MHD. E, como todos sabem, essa ciência controversa tem a virtude, ou a maldade, de permitir que discos voadores evoluam a velocidades supersônicas sem produzir estrondo sônico.
Escondam essa ciência, que não posso ver
Tenho em meus arquivos uma versão do "viramento do cubo" magnífica, com um modelo central de toda beleza, que não é a versão poliédrica da variante de Morin. Tudo de minha autoria. Um desses dias...
22 de outubro de 2003: Não há muita movimentação nestas páginas, a julgar pelo número do contador. No dia 13 de outubro de 2003, dei um seminário no CMI (Centre de mathématiques et d'informatique de Château-Gombert-Marseille), por convite de Trotman. Na ocasião, pude alinhar uma coleção de cerca de trinta modelos em papelão, dos quais vocês terão em breve a primazia, pois foram fotografados por Christophe Tardy.
Quando se dá um seminário, cria-se uma atmosfera. Na foto seguinte, um geômetra expressa sua perplexidade.
Ao fundo, parte dos modelos expostos. Em certo momento, fiz a pergunta:
- Quem já viu uma superfície Romana de Steiner? Levantem a mão.
Ninguém jamais tinha visto. Julguei, portanto, útil apresentar o objeto, em realidade virtual, no notebook que eu havia levado, objeto realizado com a colaboração de Christophe Tardy, engenheiro, e de Frédéric Descamp, do Institut Laue Langevin de Grenoble (ILL). Visivelmente, essa apresentação desconcertou a assistência, pouco acostumada a ver superfícies matemáticas girando à vontade.
Dois painéis de papelão, visíveis em primeiro plano, permitiram apresentar a sequência dos modelos em sua ordem lógica. Os modelos "verde e amarelo" ilustram, na versão poliédrica, a ferramenta essencial de criação-destruição de um par de pontos cuspidaus. O objeto branco mais distante é uma versão poliédrica da Cross Cap, que se transforma primeiro na versão poliédrica da superfície Romana de Steiner, um metro mais adiante, e depois, à vontade, na superfície de Boy "direita" ou "esquerda".
A análise das maquetes faz emergir diferentes observações na assistência. Um dos geômetras pergunta:
- Se, seguindo as maquetes neste sentido, pode-se passar da Cross Cap para a Boy, parece que fazendo o inverso deve-se poder transformar uma Boy em Cross Cap.
Respondo afirmativamente. Encorajado, meu interlocutor acrescenta:
- Se, ao chegar ao estágio da superfície Romana de Steiner, pararmos, torna-se então possível retomar em direção a uma superfície de Boy espelhada.
Aprovo uma segunda vez. Mas, infelizmente, ninguém se propôs a dar esclarecimentos sobre esse mundo estranho onde se dotam imersões de superfícies fechadas de pontos cuspidaus, criados ou aniquilados aos pares, o conjunto constituindo uma espécie de extensão do mundo das imersões. A palavra "submersões" me pareceria adequada. Se um leitor encontrar esclarecimentos, eles serão bem-vindos.
Curvatura concentrada em um ponto cuspidal
Calcula-se somando os ângulos nos vértices e comparando essa soma com a soma euclidiana: 2π.
No canto superior esquerdo, representou-se uma das múltiplas representações poliédricas do ponto cuspidal. O "desmonte" do objeto (à direita) leva a uma soma que excede a soma euclidiana 2π de um valor 2α. Deduz-se daí que a curvatura angular concentrada na vizinhança desse ponto C é -2α. Se o ângulo α for igual a π/2, então a curvatura negativa vale c (figura no canto inferior esquerdo). Na verdade, a curvatura concentrada em um ponto cuspidal pode assumir uma infinidade de valores. No canto inferior direito, acentua-se a soma angular e a curvatura deve então ser < 2α. Acentua-se a curvatura negativa.
Operando de maneira inversa, pode-se chegar a uma situação bastante surpreendente: fazer com que a curvatura (angular) concentrada em C seja ... nula:
Pode-se partir agora de uma representação poliédrica da Crosscap onde figuram dois pontos cuspidaus correspondendo cada um a uma curvatura negativa igual a -π:
Há oito "posicoins" correspondendo a um valor +π/2. Acrescentemos quatro outros "posicoins" de curvatura +π/4 e quatro "negacoins" de curvatura -π/4.
Mais os dois pontos cuspidaus de curvatura -π.
Total: 2π
Dividindo essa curvatura total por 2π, reencontra-se a característica de Euler-Poincaré de todas as representações do plano projetivo (como a superfície de Boy).
Durante minha conferência, evoquei a arte e a maneira de permutar os dois pontos cuspidaus de uma Cross Cap, utilizando o viramento da esfera. Não sei mais se coloquei isso em algum lugar no meu site. É uma tal bagunça. Terei que procurar; senão, colocarei em algum lugar. É bastante divertido. De todo modo, essa apresentação não agradou muito a um dos presentes durante o seminário.
- Não vejo por que Petit faz uso de um aparato tão complexo para demonstrar a simetria que une os dois pontos cuspidaus de uma Cross Cap. Há algo muito mais simples.
E ele desenhou no quadro a imagem de uma esfera esmagada por duas réguas que se tornam justapostas e que dão efetivamente um conjunto de auto-interseção sob a forma de um segmento limitado por dois pontos cuspidaus, como é o caso da Cross Cap. Infelizmente, e nosso homem percebeu isso, não é uma Cross Cap.
- Diabos, mas então o que é? Perguntou alguém.
É simplesmente uma esfera, munida de dois pontos cuspidaus. Se os fizermos confluir, obtém-se uma linha de auto-interseção que se torna então um simples círculo. E obtém-se no canto inferior esquerdo (em corte) uma imersão da esfera que só temos que transformar em seu mergulho. Pode-se além disso passar a uma representação poliédrica dessa superfície:
É bilateral e a curvatura é 2π.
Pode-se, portanto, divertir-se bastante com essas "submersões". Tomemos uma imersão do toro que consiste em fazer girar o sinal "infinito" ou um "oito", em torno de um eixo.
A técnica de confluência dos pontos cuspidaus nos permitirá chegar muito rapidamente ao mergulho padrão do toro, como indicado na sequência dos desenhos.
Mas as coisas nem sempre se revelam tão fáceis e evidentes. Tomo, por exemplo, uma esfera que esmago entre dois segmentos que, desta vez, têm comprimentos inferiores ao diâmetro. Obtém-se ainda dois pontos cuspidaus.
Como se pode inscrever nela uma fita de Möbius, essa superfície é unilateral. Representou-se sua representação poliédrica que permite calcular sua curvatura total. Encontra-se então zero. Se não me engano, seria então uma garrafa de Klein. Conhece-se geralmente apenas a imersão mais clássica onde a linha de auto-interseção é um simples círculo. Mas há outras, como esta. Confesso que ainda não encontrei como transformar o objeto acima em uma imersão da garrafa de Klein. Não sei, aliás, se as diferentes imersões pertencem ao mesmo grupo de homotopia (a esfera só tem um). A priori não, pois o toro pode ser imerso de quatro maneiras diferentes, que não podem ser ligadas entre si por uma homotopia regular. Enquanto isso, diverti-me transformando essa superfície criando dois pontos cuspidaus adicionais e obtém-se então duas Cross Caps ligadas por um tubo. Ao recortá-las, reencontra-se uma característica de Euler-Poincaré igual a zero.
Essa "superfície estranha" deveria poder se transformar em uma das imersões da garrafa de Klein. Mas qual? De todo modo, eis uma obtida fazendo girar o "Oito" em torno de um eixo e fazendo-o operar, adicionalmente, uma meia-volta:
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