O Modelo Central do Retorno do Cubo
31 dez 2001
Todos vocês viram girar, incansavelmente, um objeto estranho na parte esquerda da página inicial do site. Do que se trata?
Um dia, quando eu tiver tempo, instalarei no site uma descrição do retorno da esfera, tal como eu o havia ilustrado no número de janeiro de 1979 da Pour la science, ou seja, há... 22 anos. Tudo isso exigiria, evidentemente, muitos detalhes e introdução. Retornar uma esfera, o que isso quer dizer? Uma esfera não tem o mesmo significado para o homem da rua e para o matemático-geômetra. Para o homem da rua, esta se define como sendo, num espaço de três dimensões, o lugar dos pontos situados a uma distância R de um ponto fixo O deste. Um geômetra continuará a chamar "esfera" um objeto que corresponderia a uma "esfera deformada", uma espécie de "batata". Para apreender todos esses conceitos com mais precisão, procure o CD Lanturlu portador da história em quadrinhos "Le Topologicon". Mas o matemático vai ainda mais longe. Quando uma superfície é dita "regular", pode-se em cada um de seus pontos definir um plano tangente. Isso já permite envisar uma infinidade de deformações da "esfera de partida" numa infinidade de batatas, quando além disso a área da dita superfície pode ser qualquer. Sendo assim, num "universo físico" a pessoa que deforma essa esfera se deparará com a impossibilidade de fazê-la atravessar a si mesma. Se essas travessias ou mesmo esses contatos são proibidos, falar-se-á então de mergulhos da esfera S2. Mas um matemático se dá todos os direitos. Uma esfera é, para ele, um objeto "virtual" onde as travessias de folhas se tornam possíveis. A sequência de desenhos a seguir mostra uma esfera que se "autoatravessou". Chama-se então essa representação da esfera de imersão.
Uma imersão possui um conjunto de autointersecção ou de self-intersecção (aqui uma simples curva circular). O plano tangente deve variar continuamente. Sendo assim, quando se olham os desenhos acima, vê-se que a operação vira bem uma parte (representada pela cor verde) do interior da esfera para o exterior. Para concluir um tal retorno seria preciso esmagar essa espécie de salsicha equatorial. A coisa parece a priori problemática. Esse esmagamento romperia a continuidade do plano tangente. A operação compreenderia, portanto, uma etapa que não seria uma imersão.
Um dia um matemático americano, Stephen Smale, demonstrou que "A esfera S2 possuía apenas uma única classe de imersão". O corolário dessa frase sibilina era que se devia poder encadear uma sequência de imersões da esfera permitindo passar da "esfera padrão" à sua representação "antipodal", isto é, cujos todos os pontos teriam sido substituídos por seu antípoda. Enfim... uma esfera retornada, frente e verso. Raoul Bott era o chefe de Smale. Tanto a demonstração deste último, puramente formal, parecia sem falha, quanto ninguém via como proceder para realizar a operação. Bott dizia sem cessar a Smale "mostre-me como você envisaria proceder", ao que Smale, com sua célebre língua presa, respondia "não tenho a menor ideia". Smale receberia posteriormente a medalha Fields, equivalente ao prêmio Nobel, mas para a matemática. De passagem, vocês talvez se perguntem por que Nobel nunca quisera criar um prêmio Nobel de matemática. A resposta é simples: sua mulher partiu com um matemático.
As coisas ficaram nesse estado por bastante tempo até que um matemático americano chamado Anthony Phillips publicasse em 1967 na Scientific American uma primeira versão desse retorno, atrozmente complicada. A segunda foi inventada no início dos anos setenta pelo matemático francês (cego) Bernard Morin. Fui o primeiro a desenhar essa sequência de transformações que fará, como já disse, o objeto de um próximo artigo no site, aliás bastante copioso. Seja como for, isso nos leva a uma conclusão acessória. As superfícies podem ser objeto de representações poliédricas. Um cubo ou um tetraedro podem ser considerados representações poliédricas da esfera, na medida em que esses objetos têm a mesma topologia. Sobre esse ponto, consulte minha HQ o Topologicon. Além disso, compreender-se-á que, se é possível retornar uma esfera, também é possível retornar um cubo. A transformação inventada por Bernard Morin (que ilustrei no artigo de janeiro de 1979 da Pour la Science) passa por um modelo central. Existe uma simetria nessa sequência. É o que se chama "o modelo central de quatro orelhas". Aí também, antecipo. Mas assim como a esfera pode se prestar a representações poliédricas, o mesmo vale para as etapas sucessivas dessas transformações. O objeto que vocês veem girar na minha página inicial é assim a versão poliédrica do modelo central do retorno da esfera, um modelo que inventei há uns dez anos. O interesse desses modelos poliédricos é que se pode construí-los com superfícies planas. Pode-se mesmo dispô-los segundo recortes. Dê uma olhada no desenho a seguir (agradeço de passagem a meu amigo Christophe Tardy, que produziu os elementos corretamente cotados).
Este é um desenho que sairia na sua impressora em formato pequeno, inutilizável.
Para imprimir esta figura numa folha A4
É preciso então fazer quatro fotocópias em papel forte A4, duas folhas de uma cor, duas folhas de outra
É um recorte do qual vocês têm aqui uma vista geral. Mas para imprimi-lo é preferível que passem à página recorte. Imprima-a. Depois, munido desse exemplar impresso no papel normal de sua impressora, vá a uma copiadora e realize quatro cópias idênticas desse desenho, duas em duas folhas de cartolina verde e duas em amarelas. Vocês estarão em condições, com a ajuda desse recorte, de construir o modelo central do retorno do cubo.
Vocês têm, nesses elementos recortados, pares de letras: a, b c, d, e, f etc.... Basta operar as dobras levando as mesmas letras à coincidência, depois montando essas faces com fita adesiva transparente. Os desenhos que seguem mostram a maneira de montar um dos quatro elementos. Eis primeiro como se deve começar a dobrar um dos quatro elementos:
Eis dois desses quatro elementos, vistos sob ângulos diferentes.
Estes se dispõem em seguida para dar um objeto tendo uma simetria de ordem quatro ou alternando elementos verdes e elementos amarelos. Para ver isto em 3d, vá dar uma olhada nas realizações do senhor Tardy, em "virtual reality". O modelo central totalmente montado também é produzido em "vrml" nessa seção. Eis esse objeto, visto sob diferentes ângulos:
Não se pode dizer que uma vista corresponde ao "acima" e a outra ao "abaixo", já que essas denominações seriam totalmente arbitrárias. Na vista da esquerda o ponto "central" corresponde ao "ponto duplo" (onde duas folhas se cruzam) do modelo central de Morin, enquanto o ponto central da direita equivale ao "ponto quádruplo" desse mesmo modelo (onde quatro folhas se cruzam). Tive de orientar cuidadosamente o objeto, para que a figura da esquerda não evocasse uma cruz gamada. Senão, arquiteturalmente falando, essa representação poliédrica do modelo central de Morin poderia ter constituído um muito bom projeto de casa da cultura Nacional-Socialista.
Última vista:
Uma última observação: não existe boa representação poliédrica do retorno da esfera (alias o retorno do cubo). Por "boa" é preciso entender uma sequência de modelos suficientemente explícitos que podem ser montados sob forma de recortes de maneira relativamente fácil, como o modelo acima. Uma pesquisa seria a fazer nesse sentido, que está ao alcance de qualquer um, eventualmente de um não-matemático, de um artista plástico, por exemplo. Há mais de vinte anos fui professor de escultura na Escola de Belas-Artes de Aix en Provence, no tempo em que esta ainda era dirigida por meu excelente amigo Jacques Boullier. Foi nesses locais que nasceu a primeira representação meridiana da superfície de Boy com a ajuda de elipses, chave da construção da primeira equação implícita por Apéry. Devo dizer que na época sempre fui surpreendido pela imaginação geométrica dos estudantes de arte, que superava muito frequentemente a... dos geômetras.
Contador inicializado em 31 de dezembro de 2001. Número de conexões:
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