Os Quaternions

A esfera S3 e os quaternions

BK

Se a esfera S3 se parece mais com o círculo S1 do que com a esfera S2, é porque ambos correspondem ao grupo das unidades de um corpo de números: o corpo dos números complexos para S1 e o corpo dos quaternions para S3. Mas isto não funciona com S2 porque R3 não é um corpo de números.

Para compreender estas estruturas, vou recordar como se faz de R2 um corpo de números mergulhando-o na álgebra das matrizes quadradas 2×2 com coeficientes reais. Veremos em seguida que uma construção semelhante permite dotar R4 de uma estrutura de corpo (o corpo dos quaternions) mergulhando-o na álgebra das matrizes quadradas 2×2 com coeficientes complexos.

1. O corpo dos números complexos

Seja M2(R) o espaço das matrizes 2×2 com coeficientes reais. É o espaço das matrizes

ö ÷ ÷ ø | d |
|---|

onde a,b,c,d são reais. Sabemos:

1. somar duas matrizes de M2(R),

2. multiplicar uma matriz de M2(R) por um número real,

3. multiplicar duas matrizes de M2(R) entre si.

Para resumir estas três propriedades, dizemos que M2(R) é uma álgebra. Ela é de dimensão 4 porque são necessários 4 parâmetros para descrevê-la.

A todo vetor (x,y) do plano R2, podemos associar a matriz quadrada com coeficientes reais

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

Observamos então que

1. a soma de 2 tais matrizes é ainda da mesma forma

(y

1

• y

2

)

ö ÷ ÷ ø ,| x | 1 | + x | 2 |
|---|---|---|---|

2. o produto por um real l de uma tal matriz z é ainda deste tipo

ö ÷ ÷ ø ,| l | x |
|---|---|

3. o produto matricial de 2 tais matrizes também

x

1

x

2

y

1

y

2

y

1

x

2

• x

1

y

2

• (y 1 x 2 + x 1 y 2 )

x

1

x

2

y

1

y

2

x

1

x

2

y

1

y

2

ö ÷ ÷ ø .

x

1

x

2

y

1

y

2

Construímos portanto um subespaço de M2(R), que denotaremos C, estável por adição, multiplicação por um escalar e multiplicação matricial. Dizemos que C é uma subálgebra de M2(R). Ela é de dimensão 2. Podemos notar uma propriedade importante desta álgebra: ela é comutativa

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

O determinante de uma matriz z Î C escreve-se

ê ê ê ê = x2 + y2 ,| x |
|---|

por conseguinte, toda matriz z em C não nula é invertível e a sua inversa

--- ****

æ ç ç è

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

pertence igualmente a C. Dizemos que C é um corpo. Acabámos de redescobrir o corpo dos números complexos.

A matriz correspondente ao vetor (1,0) é a matriz unidade ****

ö ÷ ÷ ø | 1 |
|---|

A matriz correspondente ao vetor (0,1), denotamo-la i ****

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Ela possui a propriedade notável

i

2

=

1

i

2

=

1

Com estas notações, vemos que todo número complexo se escreve de maneira única

onde x e y são números reais.

O conjugado de um elemento z em C define-se como a transposta da matriz z

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

No corpo dos números complexos há dois subespaços notáveis. Por um lado há os múltiplos da matriz unidade 1, isto é, o conjunto das matrizes da forma

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

que é estável por adição e multiplicação. É o espaço real, idêntico ao corpo dos reais e que aparece como um subcorpo de C. É igualmente definido pela equação

Há também o subespaço das matrizes z de traço nulo (o traço de uma matriz é a soma dos seus elementos diagonais)

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Chamamos-lhe o espaço imaginário. É estável por adição mas não por multiplicação. Notamos que é igualmente o espaço das matrizes 2×2 antissimétricas.

Com estas definições, o produto escalar ordinário de dois vetores de R2 calcula-se facilmente. Se z1 é a matriz correspondente a (x1,y1) e z2 é a matriz correspondente a (x2,y2), então --- ****

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

A norma de um vetor (x,y) correspondente a z escreve-se

**** --- ****

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

Chamamos-lhe também o módulo ou a norma do complexo z e denotamo-lo | z|. Temos naturalmente | z1z2| = | z1|| z2|.

O subgrupo das unidades do corpo C, que denotamos U(1), é o conjunto dos elementos z de C que verificam

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

Este conjunto é estável por multiplicação. O elemento 1 pertence a U(1). Todo elemento de U(1) é invertível e a sua inversa está ainda em U(1). Dizemos que U(1) é um grupo. Atenção, a soma de dois elementos de U(1) não está em U(1) em geral. A construção anterior fez portanto aparecer o círculo S1 como um grupo, o grupo dos elementos unitários de C. A tangente ao círculo S1 no ponto 1, o que se chama a álgebra de Lie do grupo U(1), é a reta imaginária definida por

2 O corpo dos quaternions

Definição.

Retomemos a construção anterior para dotar R4 de uma estrutura de corpo. Seja M2(C) o espaço das matrizes 2×2 com coeficientes complexos. A todo par de números complexos (a,b) podemos associar a matriz quadrada com coeficientes complexos

ö ÷ ÷ ÷ ø | - | a |
|---|

| - | a |
|---|

Observamos então que:

1. a soma de 2 tais matrizes é ainda da mesma forma

(b

1

• b

2

)

a

1

a

2

a

1

a

2

ö ÷ ÷ ÷ ø ,

a

1

a

2

2. o produto por um real l de uma tal matriz q é ainda deste tipo

ö ÷ ÷ ÷ ø ,| l | - | a |
|---|---|---|

| l | - | a |
|---|

3. o produto matricial de 2 tais matrizes também

a 1 a 2 - b 1 - b 2

a

1

b

2

• b

1

a

2

• a 1 - b 2 - - b 2 - a 1

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

ö ÷ ÷ ÷ ø .

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

Construímos portanto uma subálgebra de M2(C) que denotaremos K. Mas contrariamente a C, esta álgebra não é comutativa. Com efeito, temos por exemplo

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

enquanto que

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

O determinante de uma matriz q Î K escreve-se

| - | a |
|---|

ê ê ê ê ê = | a|2 + | b|2 ,| - | a |
|---|

| - | a |
|---|

por conseguinte, toda matriz q em K não nula é invertível e a sua inversa

--- ****

æ ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

pertence igualmente a K. Chamamos a K o corpo dos quaternions. É também um espaço vetorial real de dimensão 4. Podemos escrever todo quaternion q sob a forma

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

onde

ö ÷ ÷ ø I = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø J = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø K = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Verificamos sem dificuldade as relações seguintes:

I2 = J2 = K2 = - 1,

IJ = - JI = K , ** JK** = - KJ = I , KI = - IK = J.

O produto escalar ordinário de dois vetores em R4 representados pelos quaternions

q

1

= t

1

1

• x

1

I

• y

1

J

• z

1

K

q 1 = t 1 1 + x 1 I + y 1 J + z 1 K

e

q

2

= t

2

1

• x

2

I

• y

2

J

• z

2

K

q 2 = t 2 1 + x 2 I + y 2 J + z 2 K

escreve-se

--- ****

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

A norma de um vetor (t,x,y,z) representado por q escreve-se

**** --- ****

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

Chamamos-lhe também o módulo ou a norma do quaternion q e denotamo-lo | q|. Temos naturalmente | q1q2| = | q1|| q2|.

Quaternions reais e imaginários.

O conjugado de um elemento q em K define-se como a transposta da matriz conjugada de q

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

Um quaternion q diz-se real se for da forma

ö ÷ ÷ ø | t |
|---|

onde t é um número real. Isto permite identificar R a um subcorpo de K. O subespaço dos quaternions reais é definido pela equação

| q = | - | q |
|---|

Define-se igualmente o espaço dos quaternions imaginários H pela equação

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

É um espaço de dimensão 3, gerado por I,J,K. É igualmente definido como o espaço das matrizes M de M2(C), anti-hermíticas

M = t`M = - M*

(M* é a transposta da matriz dos elementos complexos conjugados) de traço nulo

| Tr | (M) =0 |
|---|

Observação 1: * No caso do corpo C, tínhamos constatado que o espaço imaginário era constituído pelas matrizes reais 2×2 antissimétricas. Mas o traço de uma matriz antissimétrica *

tM = - M * é necessariamente nulo, o que não é o caso de uma matriz anti-hermítica *

M = t`M = - M .*

*O grupo das unidades. * * *

O subgrupo das unidades do corpo K, que denotamos SU(2), é o conjunto dos elementos q de K que verificam

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

É o conjunto dos pontos pertencentes à esfera S3 que aparece assim, munida de uma estrutura de grupo, o grupo SU(2). O espaço tangente (de dimensão 3) à esfera S3, que se chama a álgebra de Lie do grupo SU(2), é o espaço imaginário definido por

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Poder-se-á verificar que o colchete de Lie, de dois elementos de H, X e Y

| [X,Y] = XY | - | YX |
|---|

pertence ainda a H.

O espaço tangente à esfera S3 num ponto qualquer q obtém-se multiplicando à esquerda por q os elementos do espaço imaginário H

T

q

S

3

= q H.

T

q

S

3

= q H.

Cada geodésica da esfera S3 que parte do ponto 1 na direção X (onde X pertence a H e | X| = 1) é definida por

| q(s) = exp(sX) = cos(s) | 1 | + sin(s) X |
|---|

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