Física matemática e geometria

Física e Geometria

2 de novembro de 2004

A física matemática, cujo pioneiro foi o matemático Jean-Marie Souriau, passa pela geometria. Ao longo desse caminho, grandezas da física, como energia, massa, momento, spin e carga elétrica, tornam-se grandezas de natureza puramente geométrica, graças a uma ferramenta: a teoria dos grupos. O que é necessário para aventurar-se nesse universo, ou nessa forma de perceber o universo? Pouco: saber manipular matrizes. Se esses objetos lhe são desconhecidos, faça o esforço de se familiarizar com eles — o jogo vale a vela. Se "você já viu isso no passado", reavive seus conhecimentos, pois eles poderão levá-lo muito longe e responder perguntas como:

• Qual é a verdadeira natureza do spin das partículas?

• O que é a antimateria?

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Ação coadjunta do grupo de Poincaré
sobre seu espaço de momento

Atenção: apenas para leitores fortemente "orientados para a ciência". Isto não é divulgação científica

24 de outubro de 2004

A física sempre teve forte ligação com a geometria. O matemático Jean-Marie Souriau é um dos fundadores da física matemática. Essa abordagem passa por uma geometrização da física, muito elegante. Tudo se baseia em grupos com coeficientes reais, como o grupo de Lorentz e o grupo de Poincaré, aqui representados por matrizes com coeficientes reais. No que se segue, tudo parte de uma única matriz G, relacionada à métrica do espaço de Minkowski, que é o espaço da relatividade restrita. A partir dessa matriz, define-se um primeiro grupo L, representado por matrizes de formato (4,4). Esse grupo age sobre o espaço-tempo, composto por pontos-eventos. A partir dessas matrizes e de um "vetor de translação espaço-temporal" C, constrói-se um segundo grupo representado por matrizes (5,5), que também age sobre o espaço-tempo. Nesse espaço-tempo consideraremos "movimentos". O conceito de trajetória é pobre. O movimento de uma partícula deve estar associado a grandezas como sua energia E e seu momento p. Para um físico teórico, uma partícula que seja um "ponto material" deveria também possuir um spin. Mas o que é um objeto assim? Um ponto material pode "girar sobre si mesmo"?

Souriau introduziu geometricamente essas grandezas partindo apenas dos grupos. Tudo isso, devo admitir, é bastante difícil. Um grupo "age". Tudo começa, portanto, pelo conceito de ação. O grupo age sobre os movimentos no sentido de que um elemento do grupo de Poincaré transforma um movimento em outro movimento, que se insere no espaço dos movimentos, o espaço-tempo. Um grupo "transporta". O grupo de Euclides, por exemplo, contém translações e rotações em um espaço 3D. Ele permite transportar pontos ou conjuntos de pontos. Essa ideia é bastante intuitiva. Quando se trata do espaço-tempo, "transportamos" movimentos. Considere dois cinzeiros idênticos, situados em locais diferentes de um espaço 3D. Existe sempre um elemento do grupo de Euclides que, com uma translação e uma rotação, permite levar o primeiro cinzeiro sobre o segundo. Graças ao grupo, se conhecemos a descrição de um cinzeiro em algum lugar do espaço, podemos construir "todos os cinzeiros possíveis", em todos os locais do espaço e em todas as orientações possíveis.

No espaço-tempo, o objeto é um "movimento". Os movimentos tratados pelo grupo de Poincaré correspondem aos de um "ponto material relativístico". Da mesma forma, graças ao grupo, se conhecemos um desses movimentos, conhecemos todos. Uma partícula é um movimento particular do ponto material. Poderíamos resumir essa maneira de ver as coisas, segundo a expressão:

Diga-me como você se move, eu te direi o que você é

Souriau mostrou que o espaço dos movimentos deveria ser associado a um segundo espaço, que ele chamou de "espaço dos momentos". Por "momento", Souriau entende os parâmetros associados a uma partícula dada. Quando essa partícula é "observada" de certa forma, ou seja, descrita em um sistema de coordenadas adequado, três quantidades se destacam:

E, p, s

A energia E, o momento p e esse objeto misterioso que é o spin s. Esses objetos aparecem então como grandezas puramente geométricas através da ação coadjunta do grupo sobre seu espaço de momento.

Atualmente, os astrofísicos lidam com um objeto que chamam de "energia escura", o único novo ingrediente cosmológico que lhes parece capaz de explicar o fenômeno da reaceleração cósmica, ligado a forças repulsivas. Essa "energia escura" é... negativa. Veremos que a abordagem apresentada aqui também leva à existência de pontos materiais com energia negativa, como simples consequência das propriedades do grupo de Poincaré, capaz de gerar movimentos desse tipo. Antes de passar a isso, seria necessário que o leitor científico lesse este documento e o assimilasse. Em termos de técnica de cálculo, essa leitura não exige nada além de saber manipular matrizes. Há 15 anos, isso era nível de terminale S, mas parece que matrizes já não são ensinadas nesse nível. Pena, é uma ferramenta essencial, mas essa supressão provavelmente corresponde a uma "modernização dos programas".

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Partículas com energia negativa

25 de outubro de 2004

Na astrofísica atual, os teóricos tendem a concentrar seu interesse em algo que chamam de "energia escura", negativa, responsável pela reaceleração cósmica observada a partir de supernovas distantes.

A teoria dos grupos dinâmicos da física (grupo de Poincaré) permite esclarecer esse tema complexo. Mais uma vez, aqui estamos tratando apenas de elementos acessíveis a cientistas ou leitores fortemente "orientados para a ciência".

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A carga elétrica: um objeto geométrico

9 de novembro de 2004

Ao utilizar uma invenção do matemático Jean-Marie Souriau: a ação coadjunta de um grupo sobre seu espaço de momentos, recordamos como ele fez emergir energia, momento e spin como objetos puros e geométricos. No que se segue, retomamos a maneira como ele procedeu para fazer aparecer a carga elétrica, também como objeto puramente geométrico. Ele acrescenta uma quinta dimensão ao espaço-tempo quadridimensional. Esse conjunto pentadimensional é então gerido por um novo grupo dinâmico de onze dimensões, extensão não trivial do grupo de Poincaré. O aumento no número de dimensões do grupo acompanha o aumento nas componentes do momento, sendo essa décima primeira dimensão identificada à carga elétrica q.

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