PQ2trad singularidades e geometria de Schwarzschild

Mas superfícies existem que são intrinsecamente singulares, possuindo singularidades que não provêm de uma escolha de coordenadas. Eis um exemplo: a singularidade cônica.

Rough, tal como formulado por Schwarzschild em 1917, as coordenadas t, r, q, j (tempo, distância radial e dois ângulos, equivalentes ao azimute e à latitude: coordenadas "esféricas") apresentam uma singularidade na esfera de Schwarzschild. Para um certo valor Rs da "coordenada radial" r (suposta ser medida a partir de um "centro geométrico"), esta métrica nos engana de diversas formas. Um dos termos na esfera possui um denominador não nulo. Em resumo, ela é singular nesta esfera. Trata-se de uma singularidade intrínseca ou de um artefato introduzido por uma má escolha de coordenadas? Esta é a pergunta que nos colocamos.

Notamos, de passagem, que a "geometria de Schwarzschild" é uma hipersuperfície de quatro dimensões, o que torna ainda mais suspeita a situação.

Kruskal focou-se nesse ponto. Ele construiu uma mudança de coordenadas que, entre outras coisas, fornece um valor constante para a velocidade da luz ao longo de uma trajetória radial. Ao fazer isso, concentrou o aspecto singular "no centro do objeto" em uma "singularidade central". Psicologicamente, temos a sensação de ter ganhado algo. A solução torna-se então "regular quase em todos os lugares", expressão que os matemáticos usam para significar que uma solução é regular, isenta de patologias, exceto em um único ponto.

• Você não vai ser difícil por causa de um único pequeno ponto, não é?

Infelizmente, a formulação de Kruskal apresenta uma falha séria: ela não torna o espaço da relatividade restrita infinito. Tecnicamente, ela não é "lorentziana no infinito" ("asymptoticamente lorentziana").

Trata-se de uma questão essencial na física: as singularidades existem? A Natureza tolera a singularidade? A resposta é formulada em termos de crença (como para a existência ou inexistência do infinito, de fato).

Procuramos uma nova interpretação dessa mesma geometria de Schwarzschild tentando eliminar toda singularidade, e conseguimos. Nossa resposta é, portanto:

• O caráter singular da solução de Schwarzschild é simplesmente induzido por uma má escolha de coordenadas.

Tecnicamente, tudo repousa na seguinte mudança de variável:

r = Rs + Log chr

que se lê: "r igual a Rs mais o logaritmo do cosseno hiperbólico da variável r". Simples, exceto para cientistas, especialistas ou estudantes de matemática superior. Para aqueles capazes de manipular a fórmula, o valor r já não pode mais ser inferior a Rs, mesmo quando r assume todos os valores possíveis de menos infinito a mais infinito.

Considere uma superfície obtida girando uma parábola em torno de uma reta, assim:

Essa figura foi retirada do artigo. A superfície é infinita, assim como a meridiana parabólica que a gerou ao girar em torno do eixo z indicado. Se tivermos que representá-la com suas coordenadas (r, z, j), podemos esperar problemas quando nos perguntamos: "O que acontece com essa superfície quando r < Rs?"

Uma resposta será encontrada... imaginária, com raízes de quantidades negativas. Simplesmente porque, nesse momento, estamos "fora da superfície".

Em matemática, diz-se que essa superfície é "não simplesmente conexa", termo barroco que simplesmente designa superfícies sobre as quais nenhuma curva fechada pode reduzir seu perímetro ao deslizar ao longo da superfície até atingir um valor nulo.

Isso é possível em uma esfera, que é "simplesmente conexa". Mas, sobre a superfície em questão, vemos claramente que uma curva fechada "envolvendo o poço central" não pode ter seu perímetro tender a zero, o limite sendo o perímetro do "círculo do abismo". O mesmo acontece com um toro, que também é "não simplesmente conexo".

Definimos tal superfície a partir de sua métrica, o que constitui uma excelente ilustração do nosso assunto. Mantendo a coordenada r, a superfície parece singular. Usando a mudança de variável acima mencionada, ela não é mais singular. O que, então, corresponde à coordenada r? Ela "percorre" simplesmente a meridiana parabólica, como indicado na figura, assumindo o valor zero no círculo do abismo. Metade da superfície corresponde a r positivo, a outra metade a r negativo. No sistema de marcação dos pontos [r, j], não há mais singularidade.

Decidimos chamar esse tipo de objeto de "ponte toroidal", por analogia ao toro.

No entanto, é fácil demonstrar, sempre a partir das métricas, que podemos atribuir a um objeto uma hipersuperfície de 3 dimensões possuindo um "ponte hiper-toroidal". Nesse caso, não há mais um círculo do abismo, mas uma esfera do abismo. O mesmo acontece com a superfície acima: um círculo do abismo parece conectar duas camadas de 2 dimensões, de modo que a esfera do abismo conecta dois "meios-espaços" de 3 dimensões. Se estivermos em um desses meios-espaços de 3 dimensões e penetrarmos na esfera do abismo, emergiremos no outro meio-espaço.

Voltemos à superfície de 2 dimensões mostrada acima. A figura seguinte mostra como, ao traçar "círculos que acreditamos serem concêntricos", seu perímetro diminui, atinge um mínimo e depois aumenta novamente.

Em 3 dimensões, devemos imaginar uma esfera que envolva completamente a esfera do abismo, e outra dentro dela (deveríamos dizer "além" seguindo uma direção específica, em direção à esfera do abismo). Supomos que a superfície dessa segunda esfera seja menor. No entanto, quando atingimos a esfera do abismo, a superfície passa por um mínimo e começa a aumentar... até o infinito se continuarmos a operação.

Construímos "métricas" das superfícies de 2 e 3 dimensões, que contêm respectivamente um "passagem toroidal" e um "passagem hiper-toroidal", e, no segundo caso, ficamos impressionados com a semelhança com a métrica de Schwarzschild, onde realizamos a mudança de coordenadas e destacamos seu caráter "não simplesmente conexo", o "interior" do objeto tornando-se simplesmente "além da esfera do abismo".

Foi assim possível eliminar toda singularidade.

Nesse momento, tínhamos simplesmente estendido o modelo do buraco negro para um "buraco negro - fonte branca". No entanto, para o "observador externo", o tempo necessário para atravessar a passagem hiper-toroidal permanece infinito. Parece que simplesmente melhoramos o modelo do buraco negro explicando o que ele emergia.

Dissemos anteriormente que a escolha das variáveis, em uma solução geométrica, é totalmente arbitrária. O que vale para o espaço também vale para o tempo. Buscamos, portanto, uma mudança de variável temporal, tal como inventada por Eddington em 1924:

Mais uma vez, mencionamos isso apenas para cientistas simples e estudantes de matemática superior.

t é o antigo "tempo cósmico", a antiga "variável cronológica" apresentada na solução inicial de Schwarzschild de 1917.

t' é o novo "tempo de Eddington". Rs é o "raio de Schwarzschild" (neste caso, deveríamos dizer "perímetro de Schwarzschild", dividido por 2p).

c é a velocidade da luz (constante aqui).

Algo que pode parecer estranho: misturamos tempo e espaço, mas, com a matéria, tudo é possível. A escolha do marcador de tempo é totalmente arbitrária. Exigimos apenas que:

• a métrica seja assintoticamente lorentziana, ou seja, que, no infinito, o espaço-tempo se torne o espaço-tempo de Minkowski, o da relatividade restrita. No nosso caso, isso funciona (ao contrário de Kruskal).

• o novo tempo t' se confunde, novamente no infinito, com "o tempo de um observador supostamente imóvel". O que também é o caso (ao contrário de Kruskal).

Ao fazer isso, o tempo de queda livre de uma partícula de teste, supostamente imóvel no infinito e caindo na esfera de Schwarzschild, torna-se infinito em relação ao "tempo decorrido para o observador externo", distante e imóvel.

No entanto, a partícula emerge do buraco em um tempo infinito. Assim como no buraco negro, podemos entrar nesse tipo de buraco em 3 dimensões, mas não podemos sair dele, a menos que passemos um tempo infinito.

O outro lado é uma ressurgência. Mas com essa escolha de tempo (t'), a partícula emerge da ressurgência em um tempo infinito, enquanto pode entrar em um tempo finito. Era um ponto crítico. A solução consiste em realizar uma espécie de dupla mudança de variável, o que temos o direito perfeito de fazer, para a porção do espaço-tempo supostamente nossa:

No "universo gêmeo":

O mecanismo cósmico funciona, portanto, perfeitamente.

• Nenhuma singularidade.

• Podemos entrar no "buraco", mas não podemos sair (buraco negro).

• Podemos sair da ressurgência, mas não podemos entrar (fonte branca).

Bom, dirá você, estamos fazendo progressos...

Sim e não. O problema é que o tempo de trânsito na passagem hiper-toroidal é apenas algumas centenas de segundos. E este Moloch é capaz de engolir qualquer coisa, dez massas solares, por exemplo, em menos tempo do que leva uma bala para atravessar uma carta de baralho.

A conclusão é que, graças a essa representação mais racional da solução geométrica, os buracos negros não podem existir. Eles são apenas... uma ficção matemática. Eles só podem existir graças a esse "congelamento do tempo". No entanto, com o "tempo de Eddington", que satisfaz todas as exigências da física, o tempo de trânsito torna-se finito.

Conclusão: essa geometria de Schwarzschild, segundo nós, é simplesmente uma fotografia, uma imagem instantânea, de um processo não estacionário de transferência hiperespacial. É como se, mostrando a alguém uma foto de um bigorna que foi lançada no ar, concluíssemos que todas as bigornas flutuam no ar. A solução de Schwarzschild também é a solução de uma equação que implica que o universo é perfeitamente vazio, que a densidade de matéria-energia é nula em cada ponto. Um pouco como se, mostrando a alguém uma foto de um estádio de futebol tirada após os jogadores terem saído do campo na metade do tempo, concluíssemos que o futebol é jogado em campos vazios.

Então, o que aconteceria?

Mostramos que durante a passagem através da esfera do abismo, a coordenada temporal é invertida. Se chamarmos t' o tempo (de Eddington) correspondente ao nosso "lado do espaço-tempo" e t'* o "marcador temporal" do universo gêmeo, temos:

t'* = - t'

Observe que em 1967, Andrei Sakharov foi o primeiro a sugerir que dois universos com tempos invertidos eram criados no momento do "Big Bang".

Resta compreender o que significa "inversão do tempo". Significa que, quando entramos no universo gêmeo, ficamos mais jovens? Mostramos que não é o caso. "Seguimos nosso próprio tempo", e se saíssemos um pouco mais longe por uma estrutura simétrica, não estaríamos mais jovens do que quando entramos no universo gêmeo. Assim, é impossível "matar seu próprio pai", como no "Viajante Imprevidente" de Barjavel.

Os grupos, mais uma vez, permitiram esclarecer o sentido "ontológico" da inversão da coordenada temporal. Quando uma partícula mergulha no universo gêmeo, sua ação gravitacional é sentida, mas sua contribuição ao campo gravitacional torna-se então negativa. Sua "massa gravitacional" inverte-se.

Isso justifica plenamente o modelo desenvolvido no site e no livro "Perdemos metade do universo" (Albin Michel). As massas que percorrem os universos gêmeos se comportam como massas repulsivas em relação às massas presentes no nosso universo.

• Segundo Newton, as massas se atraem no nosso universo.

• Segundo Newton, as massas se atraem no universo gêmeo.

• Quando massas situadas em duas "partes adjacentes" do espaço-tempo interagem, elas se repelem.

Isso é uma simples consequência da inversão da variável temporal (mas não do tempo em si).

Os grupos também mostram como a dualidade matéria-antimatéria existe nos dois universos, como imaginado por Andrei Sakharov.

Quando uma partícula de matéria consegue passar para o universo gêmeo (veremos como mais tarde), ela permanece como matéria, mas "simétrica CPT". Este é o significado do famoso "teorema CPT" da física (nunca provado. O que Souriau chama de "teorema do físico"). Classicamente, os físicos dizem: "a simétrica CPT da matéria é idêntica à matéria". A simetria CPT significa:

• A partícula, em sua nova morada, evolui em "tempo invertido": simetria T.

• Ela é enantiomorfa, direita e esquerda invertidas, em "espelho": simetria P.

• Todas as suas "cargas" são invertidas, incluindo sua carga elétrica, se houver. É a simetria C.

Para nós, a simétrica CPT de uma partícula é uma partícula do gêmeo (ou que entrou no gêmeo). É uma partícula gêmea. Como ela possui simetria T, sua massa é automaticamente invertida (resultado inicialmente obtido por J. M. Souriau em 1974).

A simétrica C de uma partícula é sua antipartícula.

Feynman observou que a simétrica PT de uma partícula se comportava como uma antipartícula. Exato, mas trata-se da antimatéria do gêmeo, com massa negativa (porque também possui simetria T). Tudo isso decorre da história dos grupos. Este trabalho estabelece uma ligação entre tudo o que foi publicado até agora (no site, veja Física Geométrica B na seção "geometrizar a antimatéria").

Uma boa ilustração deste assunto de inversão do espaço pode ser obtida. No artigo, insistimos frequentemente na ideia de um espaço de representação. É o espaço no qual representamos mentalmente os objetos geométricos. Antes, usamos uma imagem na qual Lanturlu mergulha sua mão na esfera do abismo e ela parece emergir em outro universo de 3 dimensões. Para os propósitos da ilustração, o desenho é dividido em duas figuras. Mas há algo que você provavelmente não notou de primeira: Lanturlu mergulha sua mão esquerda na esfera, mas é sua mão direita que emerge. Isso não é por acaso.

Onde está o segundo universo?

Ele está integrado ao nosso, o que é um pouco difícil de compreender. Será mais simples se voltarmos à superfície de 2 dimensões, o "país de duas dimensões".