Superfície isométrica e geodésicas

Nós "limpamos" esta figura aqui para torná-la um pouco mais legível. Uma superfície é um objeto de 2 dimensões, aqui "mergulhado" em um espaço tridimensional euclidiano, R³. Podemos "vê-la" de cima. O fato é que esta superfície é mergulhável no espaço R³ "de forma isométrica". Ou seja, se colarmos uma fita adesiva nela, esta se inscreverá efetivamente em uma geodésica que liga dois pontos A e B da superfície. O comprimento medido ao longo do arco geodésico também é correto. É isométrico, etimologicamente "com o mesmo comprimento". Mais abaixo, há uma representação em 2 dimensões que não é isométrica... o comprimento do arco A'B' não é igual ao do arco AB. Construa o objeto seguinte com o auxílio de uma folha de papel, um lápis e uma tesoura:

Esta figura não é isométrica. Primeiramente, a curva representada não é uma geodésica do plano. Em segundo lugar, a largura do arco AB não é o "comprimento real" que poderia ser medido na "verdadeira superfície", que "não tem buraco". A folha de papel com um buraco é apenas uma representação útil, nada mais. O mesmo se aplica à técnica de desenhar de um lado da folha e depois do outro, a curva inteira aparecendo apenas em transparência.

Na figura seguinte, mostramos as geodésicas da superfície, calculadas por computador (como aparece no artigo).

As linhas pontilhadas das curvas correspondem às ramificações "do outro lado" (como se estivéssemos olhando a superfície "de cima").

Agora uma pergunta: podemos construir uma representação plana e isométrica dessas geodésicas? A resposta é sim. Vimos que podemos mudar a variável r para a variável r. Assim, as geodésicas podem ser representadas em um plano de "coordenadas polares" (r, j). As geodésicas (aqui uma geodésica não radial) têm então a seguinte aparência:

Trata-se de uma representação isométrica. Três pontos A, B e C pertencem à superfície, localizados na mesma geodésica. A', B' e C' são os pontos correspondentes nesta representação [r, j]. Os pontos A e B estão localizados no mesmo hemisfério e o arco geodésico que os conecta não atravessa o círculo da garganta. Medido neste plano, ao longo da imagem da geodésica (que evidentemente não é uma geodésica deste plano), o comprimento do arco A'B' é igual ao do arco AB, medido na superfície.

O arco BC atravessa a esfera da garganta. O mesmo acontece.

Mas esta isometria não se aplica a todas as geodésicas da superfície. Existe uma, única de sua maneira: o círculo da garganta, reduzido aqui a um ponto. É a única superfície que se fecha sobre si mesma.

As geodésicas são as únicas coisas que temos para compreender uma superfície ou, de forma mais geral, um espaço não plano, não euclidiano. Elas são marcadores úteis (mesmo que tenhamos uma visão distorcida em nossos sistemas de representação bidimensional e tridimensional - em perspectiva). Sabemos que essas geodésicas existem, que são intrínsecas. As de uma esfera, por exemplo, são círculos maiores. No caso do espaço-tempo, elas estão preenchidas por uma infinidade de geodésicas espaço-temporais. As geodésicas existem de forma intrínseca e para compreendê-las (etimologicamente: segurar, abraçar), tentamos "sentí-las" como homens cegos. No entanto, as linhas de coordenadas espaço-temporais não têm realidade intrínseca, nem os dois conjuntos de meridianos e paralelos constituem uma parte integrante de uma esfera. Elas não são "fornecidas por dentro". A geometria de Schwarzschild, solução da equação de campo de Einstein, é uma hipersuperfície de 4 dimensões. Os teóricos colaram nela famílias inteiras de curvas, "t constante", "r constante", etc.

Nunca esqueça que esses gestos são totalmente arbitrários, embora até especialistas em cosmologia teórica frequentemente tendam a esquecer esse ponto e, de vez em quando, precisem ser lembrados pelos matemáticos geométricos. Foi, portanto, perfeitamente licito mudar as coordenadas espaço-temporais.

Neste momento, você dirá: então, o que nos diz que uma escolha de coordenadas é melhor que outra? O que é razoável ou irrazoável? É uma questão de gosto. Escolher coordenadas espaço-temporais significa impor uma visão física a um objeto matemático. No caso da Terra, demos-lhe polos quando ela gira. O Pólo Norte é simplesmente a normal à superfície "Terra" que aponta para a Estrela Polar, uma estrela fixa no céu.

Em termos de isometria e não isometria, a cartografia ilustra as dificuldades de representar uma esfera em um plano. A projeção de Mercator (projeção da esfera terrestre em um cilindro tangente ao equador) é muito agradável para aqueles que vivem perto do equador. No entanto, alguém que vive em um dos polos se depara com uma má surpresa: seu domínio pontual se transforma em uma linha reta...

Existem centenas de formas de projetar uma esfera em um plano. Imaginemos isto:

Imaginem que fabricássemos mapas a partir deste modelo e os vendêssemos. Um sucesso imediato entre aqueles que vivem nos dois polos: as projeções são quase isométricas nessas regiões. Úteis para ter uma ideia das distâncias nesses locais. Se a Terra tivesse sido habitável nos polos e relativamente hostil em outros lugares, os mapas provavelmente teriam sido feitos assim. No entanto, veríamos que o círculo limite da projeção em um plano já não corresponde ao equador, mas a um paralelo (aqui no hemisfério norte). Perto dessa região, o mapa estaria muito longe da isometria. Além disso, nesse mapa estranho, parte da massa terrestre deveria ser representada por uma linha cheia normal e outra parte por uma linha pontilhada, pois está localizada além do paralelo onde o objeto, estranhamente, parece "se dobrar sobre si mesmo". Talvez pudéssemos fornecer mapas em um disco de papel, com o restante da massa terrestre aparecendo do lado oposto da folha.

Tentemos agora "imaginar tudo isso em 3D". Mostramos Lanturlu mergulhando seu braço esquerdo na esfera da garganta por meio de dois desenhos separados, o que poderia parecer implicar que o segundo espaço tridimensional está "em outro lugar". Para ser correto, os dois desenhos em perspectiva deveriam ser superpostos, a mão que emerge (direita) sendo representada por uma linha pontilhada.

Tentei fazer isso, embora não fosse fácil. Poderia ter usado duas cores diferentes, vermelho para as partes do primeiro lado tridimensional do nosso espaço tridimensional não simplesmente conexo, verde para o outro. Um Lanturlu vermelho veria então sua mão esquerda, que havia mergulhado na esfera, sair como uma mão direita verde.

Evidentemente, "dentro" da esfera da garganta, não há nada. A aparência de um interior, de um conteúdo volumétrico, é simplesmente devido à nossa escolha desse espaço de representação tridimensional. Assim como no buraco feito na folha de papel, não há papel também. Foi apenas um acidente ligado à escolha desse espaço de representação planar. Se alguém insistisse em usar uma representação planar sem remover o disco cortado da folha de papel e repetidamente perguntasse "o que há dentro?", estaria completamente "fora do campo" (ou melhor... dentro dele). O campo não existe.

Voltemos ao 3D. Quando Lanturlu mergulha seu braço na esfera da garganta, ela também não tem um interior. A aparência de um interior é simplesmente devido à nossa escolha do espaço de representação. Podemos considerar que Lanturlu e sua mão que emerge foram desenhados em uma folha de papel tridimensional, da qual retiramos... uma esfera (o equivalente tridimensional do disco da folha de papel). Matematicamente, um disco é uma "bola b²" e um "volume esférico" é uma "bola b³". Por "bola", entendemos uma célula contrátil (veja o Topologicon no "CD-Lanturlu"), ou seja, um objeto que pode se contrair em relação a um ponto passando por ele mesmo. Os exemplos bidimensionais e tridimensionais visam ilustrar o plano de batalha do artigo: a esfera de Schwarzschild não tem "interior", nem "centro". Quando a atravessamos (passagem hiper-tórica), nos encontramos do "outro lado do espaço-tempo".

Qual é a justificativa para esta nova interpretação da "geometria de Schwarzschild"?

Resposta: a eliminação das singularidades. Kruskal, com seu "prolongamento analítico", fez o possível para penetrar nesta "esfera maldita". Só conseguiu aprisionar a singularidade (papel inicialmente desempenhado pela esfera de Schwarzschild) em um ponto localizado "no centro deste objeto". As pessoas se contentaram com este truque. No entanto, acreditamos que é melhor sem singularidades.

A natureza protesta, quando a observamos do lado errado, produzindo singularidades. É assim que vemos as coisas. É uma visão pré-concebida do que é "real". Acreditamos que estas singularidades não existem na natureza. Também pensamos que o infinito não existe. Mas, como dizia Kipling, é outra história. Tive discussões animadas com Souriau sobre esta questão no ano passado.

• O que prova que o infinito existe? ...

• Mas sem o infinito, não há matemática!

• Você já encontrou o infinito? O viu, segurou em sua mão?

• É uma... conveniência.

• Geramos números infinitamente grandes supondo que podemos adicionar 1 a um número indefinidamente. Usamos uma infinitude sequencial para gerar uma infinitude numérica. Ela se morde a própria cauda, seu truque.

• Certo, digamos que é uma conveniência. O homem inventou duas coisas importantes durante sua história: o infinito e os banheiros...

Também não acredito que o infinitamente pequeno exista, nem fisicamente, nem matematicamente. Mas isso será o assunto de outros artigos. Deixemos essas questões de lado por enquanto. Uma simples digressão.

no site](/fr/article/f300-f301html)).

Como disse Arquimedes, acredito, na entrada de um santuário das ciências, "ninguém entra aqui que não seja geômetra". Estes tensores e outros assuntos, um campo que Midy aprecia, são tão difíceis de digerir quanto a sobremesa inglesa.

Assim, através desta discussão, vemos que nossa visão física desses fenômenos vem da maneira como decidimos representá-los. Ao modificar as coordenadas espaciais, mudamos a "topologia local", um termo que necessita de uma explicação matemática segundo Souriau. Na verdade, a expressão é um eufemismo suave: ele simplesmente começou a se irritar quando eu a pronunciei e meu gato Pioum e eu tivemos grande dificuldade em acalmá-lo. Souriau é o Professor Tournesol das matemáticas. É um praticante voluntário da indignação matemática elevada. No entanto, esta indignação não deve ser confundida com a raiva no sentido trivial da palavra. Pelo contrário, aqui eu jogo o papel de Molière em "O Senhor Jourdain". Os físicos usam frequentemente as matemáticas sem saber (e vice-versa, na verdade).

Admitindo provisoriamente o uso de palavras "não especificadas", tudo parece acontecer como se tivéssemos considerado apenas a "topologia local" da geometria de Schwarzschild como "hipersférica" (que a esfera de Schwarzschild "contém" uma "bola b³"). A fizemos "hipertórica". Por isso, propus o termo "geometrias hipertóricas".

Mencionamos acima a inversão do espaço. Ela é negociada com os grupos. Podemos entendê-la de outra forma? Vimos que Lanturlu mergulhou sua mão esquerda na esfera da garganta e viu uma mão direita saindo. Na verdade, cada átomo de sua mão seguiu uma geodésica "radial", perpendicular à superfície.

Não esqueçamos, por acaso, que este sistema de representação não é isométrico. Assim como no papel com um buraco. Se medirmos a distância percorrida nos dois meios-espaços por um átomo-teste pertencente à mão de Lanturlu (Archibald Higgin nas edições inglesas), ela não coincidirá com a distância real medida com um pedaço de linha.

Voltemos à figura mostrada anteriormente.

Aqui, mostramos um arco geodésico AB que atravessa o círculo da garganta e sua imagem no espaço de representação planar abaixo. O caráter não isométrico da representação torna-se ainda mais evidente. Os comprimentos dos arcos AB e A'B' são muito diferentes.

Claro que é bastante difícil imaginar que se possa passar um fio através da esfera da garganta de uma passagem hipertórica. Ao apertar o fio, obteríamos uma geodésica (linha do caminho mais curto). De qualquer forma, se medíssemos o comprimento do fio no espaço de representação tridimensional (Lanturlu empurrando seu braço) e decidíssemos medir o comprimento do fio nesse espaço, encontraríamos um comprimento mais curto A'B'. O comprimento real, medido na hipersuperfície tridimensional, seria maior, como mostra o desenho em 2D. A representação tridimensional com Lanturlu é, portanto, não isométrica, assim como a representação plana acima.

Com a ajuda de alguns desenhos, esses conceitos sutis, originados da teoria dos grupos, tornam-se menos herméticos, desde que se "veja no espaço". É isso que estou tentando ensinar você a fazer, ver em um espaço tridimensional curvo.

Voltemos à questão da enantiomorfia, a inversão dos objetos quando atravessam a estrutura de garganta bidimensional ou tridimensional. Imaginemos geodésicas radiais em 2D. A palavra tornou-se incorreta, pois, em princípio, um raio é uma linha reta que sai de um ponto. Na verdade, trata-se de geodésicas com j constante. Veja o desenho anterior que mostrava esta coordenada azimutal. No entanto, para maior concisão, continuaremos a usar a palavra "radial", entre aspas. Observe que a palavra "radial" já é o resultado da escolha do espaço de representação. Imagine que uma letra R (que não é idêntica à sua imagem espelhada, sua imagem enantiomórfica) deslize como um transfer mal fixado ao longo de nossa passagem toroidal, cada ponto se movendo segundo uma geodésica. A letra acabará "do outro lado". É interessante observar o resultado da operação em uma projeção plana no espaço de representação.

Mostramos um tipo de fita cujos bordos são constituídos por duas geodésicas. O que notamos? No espaço de representação, a letra R é invertida para se tornar um "ia" russo, um R virado, enantiomórfico. Começamos a entender por que a mão de Lanturlu parece invertida quando emerge no espaço de representação tridimensional, tornando-se enantiomórfica.