Mas
existem superfícies que são intrinsecamente singulares, possuindo singularidades
que não se devem a uma escolha de coordenadas. Eis um exemplo: singularidade cônica.
Em
bruto, saída da fundição, tal como formulada por Schwarzschild em 1917, as coordenadas t
, r , q , j (tempo,
uma distância radial e dois ângulos, equivalentes a azimute e elevação: coordenadas
"esféricas") a esfera de Schwarzschild é singular. Para um certo valor Rs da
"coordenada radial" r (supostamente medida a partir de um "centro geométrico") esta
métrica prega-nos todo o tipo de partidas. Um dos termos da esfera tem
um denominador não nulo. Em suma, é singular nesta esfera. Trata-se de uma singularidade
intrínseca ou de um artefacto introduzido por uma má escolha de coordenadas? Essa
é a questão que nos colocámos.
Notemos
de passagem que a "geometria de Schwarzschild" é uma hipersuperfície quadridimensional,
o que torna a coisa ainda mais duvidosa.
Kruskal
focou-se neste ponto. Construiu uma mudança de coordenadas que, entre outras
coisas, fornecia um valor constante para a velocidade da luz ao longo de uma trajetória radial.
Ao fazê-lo, concentrou o aspeto singular "no centro do objeto"
numa "singularidade central". Psicologicamente sentimos que ganhámos algo.
A solução torna-se "regular em quase todo o lado", expressão que os matemáticos
usam para dizer que uma solução é regular, isenta de patologia, exceto num único
ponto.
- Não
vais ser difícil só por causa de um pontinho, certamente...
Ai,
a formulação de Kruskal tem uma fraqueza séria: não devolve o espaço
da relatividade especial infinita. Tecnicamente não é infinitamente lorentziana,
"assintoticamente lorentziana".
É
uma questão essencial em física: as singularidades existem. A Natureza tolera
a singularidade? A resposta formula-se em termos de crença (tal como, aliás, quanto à existência
ou inexistência do infinito).
Procurámos
uma nova interpretação desta mesma geometria de Schwarzschild tentando eliminar
toda a singularidade e conseguimo-lo. A nossa resposta é, portanto:
- O
caráter singular da solução de Schwarzschild é simplesmente induzido por uma má
escolha de coordenadas.
Tecnicamente,
tudo assenta na mudança de variável:
r = Rs +
Log chr
que se lê: r é igual a
Rs mais o logaritmo do cosseno hiperbólico da variável
r . Simples, exceto para cientistas, especialistas ou estudantes de matemática superior.
Para quem é capaz de brincar com a fórmula, o valor r já não pode tornar-se
inferior a Rs, mesmo quando r toma qualquer valor possível
de menos infinito a mais infinito.
Consideremos
uma superfície obtida rodando uma parábola em torno de uma reta, assim:
Esta
figura foi retirada do artigo. A superfície é infinita, de facto, tal como
o meridiano-parábola que a criou ao rodar em torno do eixo z mostrado. Se
absolutamente tivermos de a representar com as suas coordenadas (r,z,j) podemos esperar problemas
quando perguntamos "como é esta superfície quando r < Rs?"
Encontraremos
uma resposta... imaginária, com raízes de quantidades negativas. Simplesmente porque
estamos então "fora da superfície".
Esta
superfície, em matemática, diz-se "não simplesmente conexa", termo bárbaro
que designa simplesmente superfícies onde qualquer curva fechada é incapaz de ver o seu
perímetro diminuir, deslizando pela superfície até tomar um valor nulo.
Isso
é possível numa esfera, que é "simplesmente conexa". Mas na superfície em
questão vemos muito claramente que uma curva fechada que "circula em torno da
espécie de poço central" não pode ver o seu perímetro tender para zero, sendo o limite
o perímetro do "círculo da garganta". O mesmo se passa com um toro, que
também é "não simplesmente conexo".
Definimos
uma tal superfície a partir da sua métrica, o que é uma boa ilustração do nosso tema.
Mantendo a coordenada r, a superfície parece singular. Usando a
mudança de variável dada acima, já não o é. A que corresponde a coordenada
r ? Ela simplesmente "percorre" o meridiano da parábola como mostrado na
figura, tomando o valor zero no círculo da garganta. Metade da superfície corresponde a r positivo,
a outra a r negativo. No sistema de marcação de
pontos [r , j ] já
não há singularidade.
Decidimos
chamar a este tipo de objeto uma "ponte tórica", por analogia com o toro.
No
entanto mostra-se facilmente, ainda partindo de métricas, que podemos dar a um objeto
uma hipersuperfície 3d que tem uma "ponte hipertórica". Então já não há qualquer
círculo de garganta mas uma esfera de garganta. O mesmo se passa com a superfície acima, um círculo de garganta
parece ligar duas camadas 2d, de modo que a esfera de garganta liga dois
"semiespaços 3d". Se estivermos num destes semiespaços 3d e mergulharmos na
esfera de garganta, emergimos no outro semiespaço.
Voltemos
à superfície 2d mostrada acima. A figura seguinte mostra como, quando
desenhamos "círculos que julgamos concêntricos", vemos o seu perímetro reduzir-se,
atingir um mínimo e depois aumentar de novo.
Em 3d
temos de imaginar uma esfera que engloba completamente a esfera de garganta. Depois
outra dentro desta (deveríamos dizer "para lá" quando seguimos uma dada direção,
em direção à esfera de garganta). Supomos que a superfície desta esfera é menor.
No entanto, quando atingimos a esfera de garganta, a superfície passa por um mínimo
e depois começa a aumentar... até ao infinito se continuarmos a operação.
Construímos
"métricas" das superfícies 2d e 3d que incluem uma "passagem tórica" e
uma "passagem hipertórica" e, no segundo caso, ficámos impressionados com a semelhança
com a métrica de Schwarzschild, onde efetuámos a mudança de coordenadas
e pusemos em evidência o seu caráter "não simplesmente conexo", tornando-se o "interior" do
objeto simplesmente "para lá da esfera de garganta".
Foi assim
possível eliminar toda a singularidade.
Nessa
fase tínhamos simplesmente estendido o modelo do buraco negro a um tandem de "buraco negro-fonte branca". No entanto, para o "observador exterior", o tempo necessário para atravessar
a ponte hipertórica é ainda infinito. Parece que simplesmente melhorámos o
modelo do buraco negro explicando aquilo de que ele emergiu.
Dissemos
antes que a escolha das variáveis, numa solução geométrica, é totalmente arbitrária.
O que vale para o espaço vale também para o tempo. Procurámos, portanto, uma mudança de variável temporal como a inventada por Eddington em 1924:
Mais uma vez, apenas a mencionamos
para simples cientistas e estudantes de matemática superior.
t é o antigo "tempo cósmico",
a antiga "variável cronológica" apresentada na solução inicial de Schwarzschild
de 1917.
t' é o novo "tempo de Eddington".
Rs é o "raio de Schwarzschild (caso em que deveríamos dizer o perímetro de Schwarzschild,
dividido por 2p ).
c é a velocidade da luz
(aqui constante).
Algo
que pode parecer estranho: misturamos tempo e espaço mas, com a matéria, tudo vale.
A escolha do marcador de tempo é completamente arbitrária. Pedimos apenas que:
-
a métrica seja assintoticamente
lorentziana, isto é, que no infinito o espaço-tempo se torne o espaço-tempo de Minkowski,
o da relatividade especial. No nosso caso funciona (não para Kruskal). -
o novo tempo t' se identifique,
ainda no infinito, com o "tempo de um observador supostamente imóvel".
O que também é o caso (não para Kruskal).Ao fazê-lo,
o tempo de queda livre de uma partícula-teste, infinitamente imóvel e caindo
em direção à esfera de Schwarzschild, torna-se infinito em relação ao "tempo
decorrido pelo "observador exterior", que está longe e imóvel.No
entanto a partícula emergiria do sorvedouro num tempo infinito. Tal como no
buraco negro, podemos entrar nesta espécie de sorvedouro 3d mas não podemos sair,
exceto num tempo infinito.O
outro lado é um ressurgimento. Mas com uma tal escolha de tempo (t') a partícula
emerge do ressurgimento num tempo infinito, ao passo que é capaz de penetrar
num tempo finito. Isso era um ponto de bloqueio. A solução consiste em efetuar
uma espécie de dupla mudança de variável, o que temos todo o direito de fazer,
para a porção de espaço-tempo que se supõe ser a nossa:
No
"universo gémeo":
O
mecanismo cósmico funciona assim perfeitamente.
-
Nenhuma singularidade.
-
Podemos entrar no "sorvedouro"
mas não podemos sair (buraco negro). -
Podemos sair do
ressurgimento mas não podemos entrar (fonte branca).Bem,
dizem vocês, estamos a progredir...Sim
e não. O problema é que o tempo de trânsito na passagem hipertórica é de apenas
alguns centésimos de segundo. E este Moloch é capaz de engolir o que quer que seja,
dez massas solares por exemplo, em menos tempo do que uma bala leva a atravessar
uma carta de jogar.A
conclusão é que, através desta representação mais racional da solução
geométrica, os buracos negros não poderiam existir. São... ficção matemática. Só
podem existir em virtude deste "congelamento do tempo". No entanto, com o "tempo de Eddington",
que satisfaz todas as exigências da física, o tempo de trânsito torna-se finito.
Conclusão: esta geometria de Schwarzschild
é, na nossa opinião, apenas uma fotografia instantânea, uma imagem instantânea, de um processo
não estacionário de transferência hiperespacial. É como se, ao mostrarem-vos a foto de uma bigorna
que alguém atirou ao ar, concluísseis que todas as bigornas flutuam no ar. A
solução de Schwarzschild é também a solução de uma equação que implica que
o universo está perfeitamente vazio, que a densidade de matéria-energia é nula em
todos os pontos. Um pouco como se alguém vos mostrasse a foto de um estádio de futebol
tirada depois de os jogadores terem deixado o campo ao intervalo e concluísseis que
se joga futebol em campos vazios.
Então o que
aconteceria?
Mostrámos
que durante a passagem pela esfera de garganta a coordenada temporal
se invertia. Se chamarmos t' ao tempo (de Eddington) correspondente ao nosso "lado
do espaço-tempo" e t'* ao "marcador de tempo" do universo gémeo, temos:
t'* = -
t'
Notemos
que em 1967 Andrei Sakharov foi o primeiro a sugerir que dois universos com tempos
invertidos foram criados no momento do "Big Bang".
Resta
compreender o que se entende por "inversão do tempo". Significa que, quando
mergulhamos no universo gémeo, ficamos mais novos? Mostrámos que não é
assim. "Tomamos o nosso próprio tempo" e, se emergíssemos um pouco mais longe através de uma estrutura simétrica,
não seríamos mais novos do que quando entrámos no universo gémeo.
Impossível então "matar o próprio pai", como no "Viajante Imprudente" de Barjavel
("Le Voyageur Imprudent").
Os
grupos, mais uma vez, permitiram-nos elucidar o sentido "ontológico" da inversão
da coordenada temporal. Quando uma partícula mergulha no universo gémeo, a sua ação
gravitacional faz-se sentir, mas a sua contribuição para o campo gravitacional torna-se
então negativa. A sua "massa gravífica" inverte-se.
A
propósito, isto justifica totalmente o modelo desenvolvido no site e no livro
"Perdemos metade do universo" ("On a perdu la moitié de l'univers")
(Albin Michel). As massas que vagam nos universos gémeos comportam-se como massas repulsivas
em relação às massas presentes no nosso universo.
-
Segundo Newton,
as massas atraem-se no nosso universo. -
Segundo Newton,
as massas atraem-se no universo gémeo. -
Quando massas situadas
em duas porções "adjacentes" do espaço-tempo interagem, repelem-se.
Esta é uma consequência simples
da inversão da variável temporal (mas não do tempo).
Os
grupos mostram também como a dualidade matéria-antimatéria existe em ambos os universos,
como imaginado por Andrei Sakharov.
Quando
uma partícula de matéria consegue passar para o universo gémeo (veremos como mais adiante)
permanece matéria, mas "simétrica CPT". É este o sentido do famoso
"teorema CPT" da física (nunca provado. O que Souriau chama um "teorema de médico").
Classicamente os médicos dizem "o simétrico CPT da matéria é idêntico à
matéria". A simetria CPT significa:
-
A partícula, no seu
novo covil, move-se em "tempo invertido": simetria T. -
É enantiomorfa,
invertida direita-esquerda, em "espelho": simetria P. -
Todas as suas "cargas" estão
invertidas, incluindo a sua carga elétrica, se a tiver. Isto é a simetria C.Para
nós, o simétrico CPT de uma partícula é uma partícula do gémeo (ou que entrou
no gémeo). É uma partícula gemelar. Como tem simetria T, a sua massa é automaticamente
invertida (resultado inicialmente obtido por J. M. Souriau em 1974).
O simétrico C de uma partícula
é a sua antipartícula.
Feynman
descobriu que o simétrico PT de uma partícula se comportava como uma antipartícula. Exato,
mas trata-se... da antimatéria do gémeo, com massa negativa (porque
também tem simetria T). Tudo isso decorre da história dos grupos. Este trabalho
faz a ligação entre tudo o que foi publicado até agora (no site ver Física
Geométrica B na secção 'geometrizar a antimatéria'). Pode obter-se uma boa ilustração
deste assunto da inversão do espaço. No artigo insistimos frequentemente na ideia de um espaço de representação. É o espaço no qual representamos mentalmente
os objetos geométricos. Antes usámos uma imagem em que Lanturlu enfia a mão na esfera de garganta e parece emergir noutro universo 3d.
Por exigências de ilustração o desenho está separado em duas figuras.
Mas há algo que provavelmente não notaram à primeira vista: Lanturlu põe
a mão esquerda na esfera mas é a mão direita que
emerge. Não é por acaso.
Onde está
o segundo universo?
Está
encaixado no nosso, o que é um pouco difícil de compreender. Será mais simples
se voltarmos à superfície 2d, a "terraplanolândia".
