Mas existem superfícies que são intrinsecamente singulares, possuindo singularidades que não são devidas a uma escolha de coordenadas. Exemplo a seguir: a singularidade cônica.
Peça de fundição, tal como formulada em 1917 por Schwarzschild em coordenadas t, r, q, j (tempo, uma distância radial e dois ângulos, equivalentes a azimute e colatitude: coordenadas "esféricas"), a esfera de Schwarzschild é singular. Para um certo valor Rs da "coordenada radial" r (suposta ser medida a partir de um "centro geométrico"), esta métrica nos engana. Sobre esta esfera, um dos termos tem denominador nulo. Em resumo, ela é singular sobre esta esfera. Tratava-se de uma singularidade intrínseca ou de um artefato induzido por uma má escolha de coordenadas? Foi esta a pergunta que nos fizemos.
Observamos de passagem que a "geometria de Schwarzschild" é uma hipersuperfície de quatro dimensões, o que torna a situação ainda mais complexa.
Kruskal se concentrou nesse ponto. Ele construiu uma mudança de coordenadas que, entre outras coisas, fornece um valor constante da velocidade da luz ao longo de uma trajetória radial. Ao fazê-lo, concentra o aspecto singular "no centro do objeto", em uma "singularidade central". Psicologicamente, temos a impressão de ganhar. A solução torna-se "regular quase em toda parte", expressão que os matemáticos usam para dizer que a solução é regular, isenta de patologias, exceto em um único ponto.
- Você não vai ficar chateado, me procurar briga, por causa de um simples ponto...
Infelizmente, essa formulação de Kruskal tem um defeito grave: ela não restitui o espaço da relatividade restrita no infinito. Tecnicamente, ela não é lorentziana no infinito, "assintoticamente lorentziana".
É uma questão essencial na física: as singularidades existem? A Natureza tolera singularidades? A resposta se formula em termos de crença (como para a existência ou inexistência do infinito, aliás).
Procuramos uma nova interpretação dessa mesma geometria de Schwarzschild, tentando eliminar toda singularidade, e conseguimos. Nossa resposta é, portanto:
- O caráter singular da solução de Schwarzschild é simplesmente induzido por uma má escolha de coordenadas.
Tecnicamente, tudo repousa na mudança de variável:
r = Rs + Log ch r
que se lê "r igual a Rs mais logaritmo do cosseno hiperbólico da variável r". Simples para cientista, especialista ou simples taupin. Para quem sabe manipular esta fórmula, a grandeza r não pode mais tornar-se inferior a Rs, mesmo quando r assume todas as valores possíveis, desde menos infinito até mais infinito.
Considere uma superfície obtida girando uma parábola em torno de uma reta, assim:
Esta figura é extraída do artigo. A superfície é infinita, na verdade, assim como a parábola meridional que a gera ao girar em torno do eixo z, representado. Se insistirmos em representá-la com coordenadas (r, z, j), podemos esperar problemas quando perguntarmos "como é esta superfície para r < Rs?"
Encontraremos uma resposta... imaginária, com raízes de quantidades negativas. Simplesmente porque estamos então "fora da superfície".
Essa superfície, em matemática, é chamada de "não simplesmente conexa", termo barbaramente técnico que designa apenas superfícies onde toda curva fechada não pode ter seu perímetro reduzido, deslizando-a sobre a superfície, até atingir o valor zero.
Isso é possível em uma esfera, que é "simplesmente conexa". Mas sobre esta superfície, é claro que toda curva fechada que "dá uma volta em torno desse tipo de poço central" não poderá ter seu perímetro tender a zero, o limite sendo o perímetro do "círculo de garganta". O mesmo ocorre com um toro, que também é "não simplesmente conexo".
Definimos tal superfície a partir de sua métrica, o que ilustra muito bem o argumento. Mantendo a coordenada r, essa superfície parece singular. Usando a mudança de variável acima, ela deixa de sê-lo. O que corresponde a essa coordenada r? Ela "corre" simplesmente ao longo da parábola meridional, como indicado na figura, assumindo valor zero no círculo de garganta. Metade da superfície corresponde a r positivo, a outra metade a r negativo. No sistema de localização dos pontos [r, j], não há mais singularidade.
Decidimos chamar esse tipo de objeto de "ponte toroidal", por analogia com o toro.
Mas demonstra-se facilmente, sempre partindo de métricas, que podemos passar a um objeto, uma hipersuperfície 3D, que possui uma "ponte hiper-toroidal". Então não há mais um círculo de garganta, mas uma esfera de garganta. Assim como para a superfície acima, um círculo de garganta parecia conectar duas folhas 2D, a esfera de garganta agora conecta dois "semi-espaços 3D". Quando estamos em um desses semi-espaços 3D e mergulhamos na esfera de garganta, emergimos no outro semi-espaço.
Voltemos à superfície 2D mostrada acima. A figura a seguir mostra que, traçando "círculos que parecem concêntricos", vemos seu perímetro diminuir, passar por um mínimo e depois aumentar novamente.
Em 3D, devemos imaginar uma esfera que envolva completamente a esfera de garganta. Depois, outra esfera, interna a essa (deveríamos dizer "além", seguindo uma direção dada, em direção a essa esfera de garganta). Imaginamos que a área dessa esfera possa ser menor. Mas, quando atingimos a esfera de garganta, a área passa por um mínimo e começa a crescer novamente... até o infinito, quando prolongamos a operação.
Construímos as "métricas" dessas superfícies 2D e 3D com um "passage toroidal" e um "passage hiper-toroidal", e, no segundo caso, ficamos impressionados com a semelhança com a métrica de Schwarzschild, onde, portanto, realizamos essa mudança de coordenadas, fazendo aparecer seu caráter "não simplesmente conexo", o "interior" do objeto tornando-se simplesmente "além de sua esfera de garganta".
Assim foi possível eliminar toda singularidade.
Neste estágio, simplesmente ampliamos o modelo do buraco negro para um par "buraco negro-fonte branca". Mas, ainda para esse "observador externo", o tempo de travessia dessa ponte hiper-toroidal continuava sendo infinito. Parecia que tínhamos apenas melhorado o modelo do buraco negro, explicando em que ele terminava.
Dissemos que a escolha das variáveis era, em uma solução geométrica, totalmente arbitrária. Mas o que vale para o espaço também vale para o tempo. Assim, buscamos uma mudança de variável temporal inventada por Eddington em 1924:
Mais uma vez, mencionamos isso para o cientista ou simples taupin.
t é o antigo "tempo cósmico", a antiga "variável cronológica" presente na solução inicial de Schwarzschild, de 1917.
t' é esse novo "tempo de Eddington". Rs é o "raio de Schwarzschild" (deveríamos então falar do perímetro de Schwarzschild, dividido por 2π).
c é a velocidade da luz (aqui, constante).
Coisa que pode parecer estranha: misturamos tempo e espaço, mas, nesse assunto, temos todos os direitos. A escolha da coordenada tempo, da coordenada de referência cronológica (time-marker), é totalmente arbitrária. Basta exigir:
-
que a métrica seja assintoticamente lorentziana, ou seja, que no infinito o espaço-tempo se torne o espaço-tempo de Minkowski, o da relatividade restrita. No nosso caso, isso funciona (não funciona com Kruskal).
-
que esse novo tempo t' se identifique...