Aqui, um pouco "desengordamos" a figura para torná-la mais legível. Uma superfície é um objeto 2D, aqui "imerso" em um espaço 3D, euclidiano, ou seja, em R3. Acima, podemos "vê-la". O fato é que esta superfície pode ser imersa neste espaço R3 "de maneira isométrica". Ou seja, se colarmos uma fita adesiva sobre ela, esta se inscreve efetivamente sobre uma geodésica que liga dois pontos A e B da superfície. Além disso, o comprimento medido ao longo deste arco geodésico também é correto. É isométrico, etimologicamente "mesmo comprimento". Embaixo, há um espaço de representação 2D, que fornece uma representação que não é isométrica. O comprimento do arco A'B' não é igual ao do arco AB. Faça o objeto seguinte, com uma folha de papel, um lápis e um par de tesouras:
Este desenho não é isométrico. Primeiro, a curva indicada claramente não é uma geodésica do plano. Segundo, o comprimento do arco AB não é "o verdadeiro comprimento", aquele que mediríamos sobre "a verdadeira superfície", que "não está furada". Esta folha de papel furada é apenas uma representação conveniente, nada mais. Assim como esta técnica de desenhar um lado da folha e o outro do verso, o conjunto da curva aparecendo apenas em transparência.
No desenho seguinte, representamos as geodésicas desta superfície, calculadas por computador (que aparece no artigo).
As partes tracejadas das curvas correspondem às partes que estão "do outro lado" (como se estivéssemos olhando a superfície "pelo lado de cima").
Agora, uma pergunta: posso construir uma representação plana e isométrica destas geodésicas? A resposta é sim. Vimos que podemos substituir a variável r pela variável r. Assim, as geodésicas podem ser perfeitamente representadas em um plano de "coordenadas polares" (r, j). As geodésicas (aqui, uma geodésica não radial) têm a aparência a seguir:
Esta representação é isométrica. Sejam três pontos A, B, C pertencentes à superfície, situados sobre uma mesma geodésica. A', B' e C' são os pontos correspondentes, nesta representação [r, j]. Os pontos A e B estão situados sobre a mesma meia-lua e o arco geodésico que os une não atravessa o círculo da garganta. Medido neste plano, ao longo da imagem desta geodésica (que evidentemente não é uma geodésica deste plano), o comprimento do arco A'B' é igual ao do arco AB, medido na superfície.
O arco BC atravessa a esfera da garganta. O mesmo se aplica.
Mas esta isometria não se aplica a todas as geodésicas da superfície. Existe uma, única em sua espécie: o círculo da garganta, reduzido aqui a um ponto. Esta é a única geodésica desta superfície que se fecha sobre si mesma.
As geodésicas são nossa única forma de compreender uma superfície ou, de maneira mais geral, um espaço não plano, não euclidiano. Elas são referências confiáveis (mesmo que tenhamos visões distorcidas através de nossos sistemas de representação 2D ou 3D (em perspectiva). Sabemos que estas geodésicas "existem", que são intrínsecas. As de uma esfera, por exemplo, são círculos maiores. No caso do espaço-tempo, ele está povoado por uma infinidade de geodésicas espaço-temporais. Estas geodésicas existem de forma intrínseca e, para compreender (etimologicamente: envolver, abraçar), buscamos, como cegos, "tatear" estas geodésicas. Mas as linhas de coordenadas de tempo e espaço não têm realidade intrínseca, assim como os dois conjuntos de meridianos e paralelos não fazem parte integrante de uma esfera. Eles não são "fornecidos com". A geometria de Schwarzschild, solução da equação de campo de Einstein, é uma hipersuperfície 4D. Sobre ela, os teóricos colocaram famílias de curvas "com t constante", "com r constante", etc.
Grave na sua cabeça que estes gestos permanecem totalmente arbitrários. Mas mesmo os especialistas em cosmologia teórica frequentemente perdem de vista este ponto, que os matemáticos-geômetras devem lembrar de vez em quando. Por isso, era perfeitamente legítimo mudar as coordenadas de espaço e tempo.
Neste momento, você me dirá: mas então, o que permite dizer que uma escolha de coordenadas é melhor que outra? Onde está o razoável e o irrazoável? É uma questão de gosto. Escolher coordenadas de espaço e tempo é colocar uma visão física sobre um objeto matemático. No caso da Terra, lhe demos os polos porque ela gira. O polo norte é simplesmente o ponto da superfície "Terra" cuja normal aponta para a estrela polar, um astro que permanece fixo na abóbada estrelada.
Sobre isometria e não isometria, a cartografia ilustra os problemas que resultam das tentativas de representar uma esfera em um plano. A projeção de Mercator (projeção da esfera terrestre sobre um cilindro tangente ao longo do equador) é muito agradável para as pessoas que vivem perto do equador. Por outro lado, o habitante de um dos polos tem uma má surpresa: seu domínio, pontual, transforma-se em uma reta...
Há trinta e seis mil maneiras de projetar uma esfera em um plano. Imaginemos esta:
Imaginemos que fabricássemos mapas geográficos com este modelo e os vendêssemos. Sucesso imediato entre os habitantes dos dois polos: estas projeções são, nestas regiões, quase-isométricas. Muito conveniente para ter uma ideia das distâncias nesses cantos. Se a Terra tivesse sido habitável nos seus polos e relativamente hostil em outros lugares, os mapas provavelmente teriam sido criados desta forma. Nota-se que, então, o círculo limite da projeção plana já não corresponderia ao equador, mas a um paralelo (aqui pertencente ao hemisfério norte). Nas proximidades desta região, o mapa estaria muito longe da isometria. Além disso, sobre este mapa estranho, uma parte do território teria que ser representada com linha cheia e outra com linha pontilhada, pois estaria além deste paralelo onde o objeto, estranhamente, parece "se dobrar". A menos que forneçamos mapas em forma de discos e onde a continuação do terreno fosse representada no outro lado, no verso da folha.
Tentemos "pensar tudo isso em 3D". Representamos Lanturlu mergulhando seu braço esquerdo na esfera da garganta e separamos os dois desenhos, o que parece sugerir que este segundo espaço 3D possa estar "em outro lugar". Para ser mais correto, deveria-se superpor os dois desenhos em perspectiva, representando a mão (direita) que emerge "em linha pontilhada".
Tentei fazer isso, embora não tenha sido extremamente fácil. Também poderíamos usar cores diferentes, por exemplo, vermelho para o que estaria no primeiro lado 3D do nosso espaço 3D não simplesmente conexo e verde para o que estaria no outro lado. Um Lanturlu vermelho veria, por exemplo, a mão vermelha, esquerda, que mergulhou na esfera da garganta, aparecer como uma mão verde "direita".
Pena que Raymond Devos não se interesse por matemática. Embora...
Claro que "dentro" da esfera da garganta, não há nada. Esta aparência de interior, de conteúdo volumétrico, deve-se apenas à escolha deste espaço de representação 3D. Da mesma forma, dentro do buraco feito na folha de papel, não havia papel também. Era apenas um acidente decorrente da escolha deste espaço de representação plano. Alguém que insistisse em usar esta representação plana sem retirar o disco cortado do papel e que persistisse...