Mas existem superfícies que são intrinsecamente singulares, possuindo singularidades que não se devem a uma escolha de coordenadas. Exemplo a seguir: a singularidade cônica.
Bruta de fundição, tal como formulada em 1917 por Schwarzschild em coordenadas t, r, q, j (o tempo, uma distância radial e dois ângulos, equivalendo a azimute e elevação: coordenadas "esféricas") a esfera de Schwarzschild é singular. Para um certo valor Rs da "coordenada radial" r (supostamente medida a partir de um "centro geométrico") esta métrica nos prega as piores peças. Nesta esfera um dos termos tem um denominador nulo. Em suma, ela é singular nesta esfera. Tratava-se de uma singularidade intrínseca ou de um artefato induzido por uma má escolha de coordenadas? É a questão que nos colocamos.
Notemos de passagem que a "geometria de Schwarzschild" é uma hipersuperfície de quatro dimensões, o que torna a coisa ainda mais incômoda.
Kruskal focalizou-se neste ponto. Ele construiu uma mudança de coordenadas que, entre outras coisas, fornece um valor constante da velocidade da luz ao longo de uma trajetória radial. Ao fazê-lo, ele concentra o aspecto singular "no centro do objeto", numa "singularidade central". Psicologicamente, tem-se a impressão de ganhar com isso. A solução torna-se "regular quase em toda parte", expressão que os matemáticos usam para dizer que a solução é regular, isenta de patologia, exceto num único ponto.
- Vocês não vão ficar com frescuras, me procurar briga, por um simples ponto.....
Infelizmente esta formulação de Kruskal tem um grave defeito: ela não restitui o espaço da relatividade restrita no infinito. Tecnicamente, ela não é lorentziana no infinito, "assintoticamente lorentziana".
É uma questão essencial em física: as singularidades existem? A Natureza tolera singularidades? A resposta se formula em termos de crença (como para a existência ou inexistência do infinito, aliás).
Procuramos uma nova interpretação desta mesma geometria de Schwarzschild tentando eliminar toda singularidade e conseguimos. Nossa resposta é portanto:
- O caráter singular da solução de Schwarzschild é simplesmente induzido por uma má escolha de coordenadas.
Tecnicamente, tudo repousa na mudança de variável:
r = Rs + Log ch r
que se lê "r igual a Rs mais logaritmo do cosseno hiperbólico da variável r". Simples aparte para cientista, especialista ou simples estudante. Para quem sabe manejar esta fórmula, a grandeza r não pode então mais tornar-se inferior a Rs, mesmo quando r assume todos os valores possíveis em menos infinito e mais infinito.
Considere uma superfície que seja obtida fazendo girar uma parábola em torno de uma reta, como isto:
Esta figura é extraída do artigo. A superfície é infinita, na verdade, como a parábola-meridiana que a engendra girando em torno do eixo z, figurado. Se se faz absoluta questão de representá-la com coordenadas (r,z,j) pode-se esperar aborrecimentos quando se perguntar "como é esta superfície para r < Rs?"
Encontrar-se-á uma resposta .. imaginária, com raízes de quantidades negativas. Simplesmente porque se está então "fora da superfície".
Esta superfície, em matemática, é dita "não simplesmente conexa", termo bárbaro que designa simplesmente as superfícies onde toda curva fechada não pode ver seu perímetro decrescer, fazendo-a deslizar na superfície, até tomar o valor zero.
Isto é possível numa esfera, que é "simplesmente conexa". Mas nesta superfície vê-se bem que toda curva fechada que "dá uma volta em torno desta espécie de poço central" não poderá ver seu perímetro tender para zero, sendo o limite o perímetro do "círculo de garganta". Mesma coisa para um toro, que também é "não simplesmente conexo".
Definimos tal superfície partindo de sua métrica, o que ilustra muito bem o propósito. Mantendo a coordenada r, esta superfície parece singular. Utilizando a mudança de variável dada acima, ela não o é mais. A que corresponde esta coordenada r? Ela "corre" simplesmente ao longo da parábola meridiana como indicado na figura, toma o valor zero no círculo de garganta. A metade da superfície corresponde a r positivo, a outra a r negativo. No sistema de referência dos pontos [r , j ] não há mais singularidade.
Decidimos chamar este tipo de objeto de "ponte tórica", por analogia com o toro.
Mas mostra-se facilmente, sempre partindo de métricas, que se pode passar a um objeto, uma hipersuperfície 3d, que comporta uma "ponte hipertórica". Não há então mais um círculo de garganta, mas uma esfera de garganta. Da mesma forma que para a superfície acima, um círculo de garganta parecia pôr em comunicação duas folhas 2d, a esfera de garganta põe então em comunicação dois "semiespaços 3d". Quando se está num destes semiespaços 3d e se mergulha na esfera de garganta, emerge-se no outro semiespaço.
Voltemos à superfície 2d mostrada acima. O desenho a seguir mostra que traçando "círculos que se crê serem concêntricos" vê-se seu perímetro diminuir, passar por um mínimo, depois crescer de novo.
Em 3d é preciso imaginar uma esfera envolvendo completamente a esfera de garganta. Depois outra, no interior desta (dever-se-ia dizer "além" seguindo uma direção dada, em direção a esta esfera de garganta). Imagina-se que a superfície desta esfera possa ser menor. Mas, quando se atinge a esfera de garganta, a área passa por um mínimo, depois volta a crescer... até o infinito, quando se prolonga a operação.
Construímos as "métricas" destas superfícies 2d e 3d comportando uma "passagem tórica" e uma "passagem hipertórica" e, no segundo caso, ficamos impressionados pela semelhança com a métrica de Schwarzchild, onde portanto operamos esta mudança de coordenadas, fazendo aparecer seu caráter "não simplesmente conexo", "o interior" do objeto tornando-se simplesmente "o além de sua esfera de garganta".
Foi assim possível eliminar toda singularidade.
Neste estágio simplesmente estendemos o modelo do buraco negro a um tandem "buraco negro-fonte branca". Mas, sempre para este "observador exterior", o tempo de travessia desta ponte hipertórica era sempre infinito. Parecíamos ter simplesmente melhorado o modelo do buraco negro explicando em que ele desembocava.
Dissemos que a escolha das variáveis era, numa solução geométrica, totalmente arbitrária. Mas o que vale para o espaço também vale para o tempo. Fomos portanto buscar uma mudança de variável temporal inventada por Eddington em 1924:
Aí ainda, mencionamo-lo para o cientista ou simples estudante.
t é o antigo "tempo cósmico", a antiga "variável cronológica" presente na solução inicial de Schwarzschild, de 1917.
t' é este novo "tempo de Eddington". Rs é o "raio de Schwarzschild (dever-se-ia então falar de perímetro de Schwarzschild, dividido por 2p).
c é a velocidade da luz (aqui, constante).
Coisa que pode parecer estranha: mistura-se o tempo e o espaço mas, na matéria, tem-se todos os direitos. A escolha da coordenada tempo, da coordenada de referência cronológica (time-marker) é totalmente arbitrária. Pede-se simplesmente:
-
à métrica de ser assintoticamente Lorentziana, isto é que no infinito, o espaço tempo se torne o espaço tempo de Minkowski, o da relatividade restrita. No nosso caso, funciona (não no de Kruskal).
-
a este novo tempo t' de se identificar, sempre no infinito, ao "tempo próprio de um observador suposto imóvel". É também o caso (não no de Kruskal)
Ao fazê-lo o tempo de queda livre de uma partícula-testemunha, imóvel no infinito e caindo em direção à esfera de Schwarzschild, torna-se infinito, em relação ao tempo vivido pelo "observador exterior", que está longe e imóvel.
A partícula, ao contrário, emergiria deste "aven" num tempo infinito. Como no buraco negro pode-se portanto entrar nesta espécie de aven 3d, mas não sair, senão num tempo infinito.
O outro lado é uma "ressurgência". Mas, com tal escolha do tempo (t') a partícula emerge desta ressurgência num tempo infinito, enquanto ela pode aí penetrar num tempo finito. Isso travava em algum lugar. A solução consistiu em efetuar, o que se tem perfeitamente o direito de fazer, uma espécie de dupla mudança de variável. Para o pedaço de espaço tempo que se supõe ser o nosso:
No "universo gêmeo":
O mecanismo cósmico funciona então perfeitamente.
-
Sem singularidade.
-
Pode-se entrar no "aven" mas não sair (buraco negro)
-
Pode-se sair da ressurgência, mas não aí penetrar (fonte branca).
Bem, dir-me-ão, progredimos....
Sim e não. O tempo de trânsito da matéria nesta passagem hipertórica é de algumas dezenas de milésimos de segundo, e este Moloch é capaz de engolir qualquer coisa, dez massas solares, por exemplo, em menos tempo do que uma bala leva para atravessar uma carta de baralho.
A conclusão é que através desta reinterpretação mais racional da solução geométrica os buracos negros não poderiam existir. São ... ficções matemáticas. Só podiam existir em virtude deste "congelamento do tempo". Ora com este "tempo de Eddington" que satisfaz a todas as exigências da física, o tempo de trânsito torna-se finito.
Conclusão: esta geometria de Schwarzschild não seria, segundo nós, senão uma imagem instantânea de um processo não estacionário de transferência hiperespacial. É um pouco como se vos mostrassem uma foto de uma bigorna que alguém tivesse lançado ao ar e vós concluísseis que as bigornas podem flutuar no ar. A solução de Schwarzschild é igualmente solução de uma equação que implica que o universo seja perfeitamente vazio, que a densidade de energia matéria seja nula em todo ponto. É então um pouco como se vos mostrassem uma foto de um campo de futebol, tirada quando os jogadores foram descansar durante o intervalo e vós concluísseis que o futebol se joga num campo.. vazio.
Mas então, o que aconteceria?
Mostramos que durante a passagem da esfera de garganta a coordenada tempo se invertia. Se se chama t' o tempo (de Eddington) correspondente à nossa "vertente de espaço-tempo" e t'* o "marcador de tempo" do universo gêmeo, tem-se:
t'* = - t'
Notemos que Andrei Sakharov foi o primeiro a sugerir em 1967 que se criassem no momento do "Big Bang" dois universos gêmeos tendo tempos opostos.
Restava saber o que significava o sentido desta "inversão do tempo". Era dizer que quando se mergulhava no universo gêmeo se rejuvenescia? Mostramos que não. "Leva-se seu tempo próprio" e se se ressurgisse um pouco mais longe por uma estrutura simétrica, não se emergiria mais jovem do que quando se entrou neste universo gêmeo. Impossível "matar seu próprio pai" como no tema do "Viajante imprudente", de Barjavel.
Os grupos, ainda, nos permitiram elucidar o sentido "ontológico" desta inversão da coordenada tempo. Quando uma partícula mergulha no universo gêmeo, sua ação gravitacional se faz sempre sentir, mas sua contribuição ao campo gravitacional torna-se então negativa. Sua "massa gravífica" se inverte.
De passagem, isto justifica totalmente o modelo desenvolvido no site e na obra "On a perdu la moitié de l'univers" (Albin Michel). As massas que passeiam no universo gêmeo comportam-se em relação às massas presentes no nosso como massas repulsivas. A dinâmica completa é:
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No nosso universo as massas se atraem segundo Newton
-
No gêmeo as massas se atraem segundo Newton
-
Quando massas situadas em duas porções "adjacentes" do espaço tempo interagem, elas se repelem.
É uma simples consequência desta inversão da variável temporal (mas não do tempo próprio).
Os grupos mostram também que a dualidade matéria antimatéria existe nos dois universos, como conjecturado por Andrei Sakharov.
Quando uma partícula de matéria consegue passar para o universo gêmeo (ver-se-á mais adiante como) ela permanece matéria, mas "CPT simétrica". É o sentido do famoso "teorema CPT" da física (jamais demonstrado. O que Souriau chama um "teorema de físico"). Classicamente os físicos dizem "a CPT simétrica da matéria é idêntica à matéria". Por CPT simetria, entender:
-
A partícula, neste novo referencial, caminha "a contrapelo do tempo": T-simetria.
-
Ela é enantiomorfa, invertida direita-esquerda, "em espelho": P-simetria.
-
Todas as suas "cargas" são invertidas, compreendida sua carga elétrica, se ela possui uma. É a C-simetria.
Para nós, a CPT simétrica de uma partícula é uma partícula do gêmeo (ou passada para o gêmeo). É uma partícula gemelar. Como há T-simetria, sua massa é automaticamente invertida (resultado inicialmente obtido por J.M.Souriau em 1974).
A C-simétrica de uma partícula é sua antipartícula.
Feynman tinha achado que a PT-simétrica de uma partícula se comportava como uma antipartícula. Exato, mas trata-se .. da antimatéria do gêmeo, de massa negativa (pois há também T-simetria). Tudo isso emerge de histórias de grupos Este trabalho faz a ligação com tudo o que tinha sido publicado até aqui (no site, ver Geometrical Physics B na rubrica "geometrização da antimatéria"). Pode-se ilustrar de maneira falante este assunto de inversão do espaço. No artigo, insiste-se bastante na noção de espaço de representação. É o espaço no qual nos representamos mentalmente os objetos geométricos. Utilizamos acima uma imagem onde se via Lanturlu enfiar sua mão nesta esfera de garganta, a qual parecia emergir num outro universo 3d. Por comodidades de desenho separamos as duas figuras. Mas há uma coisa que sem dúvida não tereis notado de início: Lanturlu enfia nesta esfera uma mão esquerda e é uma mão direita que dela emerge. Isso não tinha sido feito por acaso.
Onde está este segundo universo?
Ele está imbricado no nosso, o que é difícil de compreender. Mas isto será mais simples voltando à superfície 2d, ao "flatland".