Aqui, "desengorduramos" um pouco a figura para torná-la mais legível. Uma superfície é um objeto 2d, aqui "mergulhado" num espaço 3d, euclidiano, ou seja, em R3. Acima, podemos "vê-la". Acontece que essa superfície é mergulhável nesse espaço R3 "de maneira isométrica". Ou seja, se colarmos sobre ela uma fita adesiva, esta se inscreve efetivamente sobre uma geodésica que une dois pontos da superfície A e B. Além disso, o comprimento medido ao longo desse arco geodésico também é correto. É iso-métrico, etimologicamente "mesmo comprimento". Embaixo encontra-se um espaço de representação 2d, que dá uma representação que não é isométrica. O comprimento do arco A'B' não é igual ao do arco AB. Fabrique o objeto seguinte, com a ajuda de uma folha de papel, um lápis e uma tesoura:
Este desenho não é isométrico. Primeiro, a curva indicada evidentemente não é uma geodésica do plano. Segundo, o comprimento do arco AB não é "o verdadeiro comprimento", aquele que se mediria sobre "a verdadeira superfície", que "não é furada". Essa folha de papel furada não é mais que uma representação cômoda, nada mais. Assim como esta técnica que consiste em desenhar um traço no recto da folha e o outro no seu verso, o conjunto da curva só aparecendo em transparência.
No desenho seguinte figuramos as geodésicas dessa superfície, calculadas por computador (que figura no artigo).
As partes tracejadas das curvas correspondem aos ramos que estão "do outro lado" (como se olhássemos a superfície "por cima").
Agora, uma pergunta: posso construir uma representação plana e isométrica dessas geodésicas? A resposta é sim. Vimos que podíamos mudar a variável r pela variável r. Então as geodésicas podem perfeitamente ser figuradas num plano de "coordenadas polares" (r, j). As geodésicas (aqui uma geodésica não radial) têm o aspecto seguinte:
Esta representação é isométrica. Sejam três pontos A, B, C pertencentes à superfície, situados sobre uma mesma geodésica. A', B' e C' são os pontos homólogos, nesta representação [r, j]. Os pontos A e B estão situados sobre a mesma meia-folha e o arco geodésico que os une não atravessa o círculo de garganta. Medido neste plano, ao longo da imagem dessa geodésica (que evidentemente não é uma geodésica deste plano), o comprimento do arco A'B' é igual ao do arco AB, medido na superfície.
O arco BC atravessa a esfera de garganta. O mesmo.
Mas esta isometria não se aplica a todas as geodésicas da superfície. Existe uma, única no seu género: o círculo de garganta, aqui reduzido a um ponto. É a única geodésica desta superfície que se fecha sobre si mesma.
As geodésicas são a nossa única forma de compreender uma superfície ou, mais geralmente, um espaço não plano, não euclidiano. São referenciais fiáveis (mesmo que delas tenhamos uma visão distorcida através dos nossos sistemas de representação 2d ou 3d (em perspetiva). Essas geodésicas, sabemos que "existem", que são intrínsecas. As de uma esfera são, por exemplo, grandes círculos. Tratando-se de espaço-tempo, estes são povoados por uma infinidade de geodésicas espaço-temporais. Essas geodésicas existem intrinsecamente e, para compreender (etimologicamente: encerrar, tomar nos braços), procuramos, como cegos, "apalpar" essas geodésicas. Mas as linhas de coordenadas de tempo e de espaço não têm nenhuma realidade intrínseca, tal como os dois conjuntos meridianos e paralelos não fazem parte integrante de uma esfera. Não são "entregues com ela". A geometria de Schwarzschild, solução da equação de campo de Einstein, é uma hipersuperfície 4d. Sobre ela os teóricos aplicaram famílias de curvas "a t constante", "a r constante", etc.
Grave na cabeça que esses gestos permanecem totalmente arbitrários. Mas mesmo os especialistas de cosmologia teórica perdem frequentemente a consciência deste ponto, que os matemáticos-geómetras lhes devem recordar de tempos a tempos. Era portanto perfeitamente lícito mudar de coordenadas de espaço e de tempo.
Neste ponto, dir-me-á: mas então, o que permite dizer se tal escolha de coordenadas é melhor que tal outra? Onde se encontram o razoável e o desarrazoado? É uma questão de gosto. Escolher coordenadas de espaço e de tempo é aplicar uma visão física a um objeto matemático. No caso da Terra, demos-lhe polos porque ela gira. O polo norte é simplesmente o ponto da superfície "Terra" cuja normal aponta para a estrela polar, astro que permanece fixo na abóbada estrelada.
A propósito de isometria e de não isometria, a cartografia ilustra os problemas que resultam das tentativas de representar uma esfera num plano. A projeção de Mercator (projeção da esfera terrestre sobre um cilindro tangente ao longo do equador) é muito agradável para as pessoas que habitam perto do equador. Em contrapartida, o habitante de um dos polos tem uma má surpresa: o seu domínio, pontual, transforma-se numa reta...
Há trinta e seis mil maneiras de projetar uma esfera num plano. Imaginemos esta:
Imaginemos que fabricávamos mapas geográficos segundo este modelo e os vendíamos. Sucesso imediato junto dos habitantes dos dois polos: essas projeções são então, nessas regiões, quase-isométricas. Muito cómodo para se ter uma ideia das distâncias nesses cantos. Se a Terra tivesse sido habitável nos seus polos e relativamente inóspita no resto, os mapas teriam sem dúvida sido criados desta forma. Notar-se-á que então o círculo fronteira da projeção plana já não corresponde ao equador, mas a um paralelo (aqui pertencente ao hemisfério norte). Na vizinhança dessa região, o mapa estará muito longe da isometria. Além disso, nesse mapa bizarro, uma parte do território terá de ser figurada em traço cheio e a outra em pontilhado, pois situa-se para além desse paralelo onde o objeto, estranhamente, parece "dobrar-se". A menos que se forneçam mapas em forma de discos e onde a continuação do terreno figuraria na outra face, no verso da folha.
Tentemos "pensar tudo isto em 3d". Representámos Lanturlu a mergulhar o seu braço esquerdo na esfera de garganta e separámos os dois desenhos, o que parece evocar o facto de que este segundo espaço 3d possa estar "noutro lugar". Para ser mais correto, teria sido preciso sobrepor os dois desenhos em perspetiva, representando a mão (direita) que emerge "em pontilhado".
Tentei fazê-lo, embora não tenha sido extremamente fácil. Poder-se-ia também ter utilizado duas cores diferentes, por exemplo vermelho para o que estaria na primeira vertente 3d do nosso espaço 3d não simplesmente conexo e verde para o que está na outra vertente. Um Lanturlu vermelho veria então, por exemplo, ressair a mão vermelha, esquerda, que mergulhou na esfera de garganta sob a forma de uma mão verde "direita".
É pena que Raymond Devos não se interesse por matemática. Embora...
Evidentemente "dentro" da esfera de garganta não há nada. Essa aparência de interior, de conteúdo volúmico, deve-se apenas à escolha desse espaço de representação 3d. Tal como no interior do buraco aberto na folha de papel também não havia papel. Não era mais que um acidente ligado à escolha desse espaço de representação plano. Alguém que se obstinasse a utilizar essa representação plana sem retirar o disco recortado no papel e que persistisse em perguntar "o que há lá dentro?" estaria "a leste" (ou antes... lá dentro). Esse disco "não existe".
Voltemos ao 3d. Quando Lanturlu mergulha o braço na esfera de garganta, esta também não tem interior. Essa aparência de interior deve-se apenas a essa escolha de espaço de representação. Poder-se-ia considerar que Lanturlu e a sua mão emergente foram desenhados numa folha de papel possuindo três dimensões, onde se teria retirado... uma esfera (equivalente 3d do disco da folha de papel). Matematicamente, um disco é uma "bola b2" e uma "esfera volume" uma "bola b3". Chama-se "bola" a uma célula contráctil (ver o Topologicon, no "CD-Lanturlu"), ou seja, um objeto que pode contrair-se segundo um ponto percorrendo-se a si mesmo. Esses exemplos 2d e 3d estão lá para ilustrar o plano de ataque seguido no artigo: a esfera de Schwarzschild não tem "interior", nem "centro". Quando a atravessamos (passagem hipertórica) encontramo-nos num "outro lado do espaço-tempo".
Qual é a justificação desta nova interpretação da "geometria de Schwarzschild"?
Resposta: a eliminação das singularidades. Kruskal, com o seu "prolongamento analítico", fez das tripas coração para penetrar a todo o custo "dentro" dessa maldita esfera. Só conseguiu comprimir a singularidade (papel inicialmente desempenhado pela esfera de Schwarzschild) num ponto situado "no centro desse objeto". Contentámo-nos com esse passe de magia. Mas pensamos que sem singularidade é, ainda assim, melhor.
A Natureza protesta, quando a olhamos sob o mau ângulo, segregando singularidades. É assim que vemos as coisas. É um ponto de vista a priori sobre o "real". Pensamos que as singularidades não existem na natureza. Pensamos também que o infinito também não existe. Mas, como diria Kipling, isso é outra história. Tive com Souriau discussões agitadas sobre esta questão há um ano.
-
O que me prova que o infinito existe? ...
-
Mas, sem infinito, já não há matemática! ...
-
O infinito, já o encontraste? Já o viste, seguraste na mão?
-
É uma... comodidade.
-
Engendram-se números infinitamente grandes supondo que se possa adicionar 1 a um número, indefinidamente. Portanto serve-se de um infinito sequencial para engendrar um infinito numérico. Isso morde a cauda, a tua coisa.
-
Bem, digamos que é uma comodidade. O homem inventou duas coisas importantes ao longo da sua história: o infinito e as retretes...
Também não acredito que o infinitamente pequeno exista, nem fisicamente, nem matematicamente. Mas isso será objeto de outros artigos. Deixemos por agora essas questões de lado. Simples digressão.
A propósito, ver "Scale Invariant Cosmology" de P. Midy e J.P. Petit, International Journal of Modern Physics D, junho de 1999, páginas 271-280, onde fizemos desaparecer "a singularidade inicial do universo". É uma reformulação mais construída matematicamente da ideia que eu tinha publicado em 88-89 no Modern Physics Letters A (artigos no site).
Espero que, quando ler estas linhas, tenhamos tido tempo, com a ajuda dos senhores Lecot ou Boland, de incluir este novo artigo no site. Mas de qualquer forma, mesmo que este trabalho aí se encontrasse reproduzido, não se aventure por ele. Como tinha inscrito, creio, Arquimedes à entrada de um santuário-ciência "não entre aqui quem não seja geómetra". São tensores e companhia, domínio no qual Midy se delicia, mas é tão indigesto como um pudim inglês.
Vê-se portanto, através deste discurso, que a visão física que temos dos fenómenos decorre da forma como decidimos representá-los. Nós, modificando as coordenadas espaciais, mudámos de "topologia local", palavra que mereceria ser precisada matematicamente, diz Souriau. Na verdade, esta frase é um doce eufemismo: ele simplesmente começou a gritar quando pronunciei essa palavra. O seu gato Pioum e eu tivemos as maiores dificuldades em acalmá-lo. Souriau é o Tournesol da matemática. Pratica de bom grado a indignação matemática levada ao extremo. Mas esses acessos de indignação não devem confundir-se com a cólera no sentido trivial do termo. Eu seria antes "Monsieur Jourdain", nesse domínio. Os físicos fazem frequentemente matemática sem o saber (e vice-versa, aliás).
Admitindo, provisoriamente, o uso de palavras "não precisadas", tudo se passa como se se tivesse considerado até aqui que a "topologia local" da geometria de Schwarzschild era "hiperesférica (que a esfera de Schwarzschild "contém" uma "bola b3"). Tornámo-la "hipertórica". É a razão pela qual propus a designação (não controlada) de "geometrias hipertóricas".
Evocou-se acima a inversão do espaço. Isso negocia-se com os grupos. Pode-se compreender isso de outra forma? Vimos que Lanturlu, mergulhando o seu braço esquerdo na esfera de garganta, via ressair... uma mão direita. Na verdade, cada átomo da sua mão seguiu uma geodésica "radial", dirigida perpendicularmente à superfície.
Notemos a propósito, tínhamos esquecido de o dizer, que este modo de representação não é isométrico. Como no caso do papel furado, há pouco. Se se medisse o comprimento percorrido por um átomo-testemunha pertencente à mão de Lanturlu nos dois semi-espaços, isso não coincidiria com o verdadeiro comprimento que se pode calcular com um cordel.
Retomemos um desenho dado acima.
Aqui, figurámos um arco geodésico AB que atravessa o círculo de garganta, e a sua imagem no espaço de representação plana, em baixo. O caráter de representação não isométrica aparece então ainda mais claramente. Os comprimentos dos arcos AB e A'B' são muito diferentes.
É evidentemente bastante difícil imaginar que se possa enfiar um cordel na esfera de garganta de uma passagem hipertórica. Esticando o cordel, obter-se-ia aliás uma geodésica (linha de caminho mais curto). De resto, se se medisse o comprimento desse cordel no espaço de representação 3d (Lanturlu que enfia o seu braço) e se nos aventurássemos a medir o comprimento do dito cordel, nesse espaço, encontrar-se-ia um comprimento A'B' mais curto. O verdadeiro comprimento, medido na hipersuperfície 3d, seria mais longo, como figurado acima em 2d. A representação 3d onde figura Lanturlu é portanto não-isométrica, como a representação plana da figura acima.
No fundo, esses conceitos tão subtis, saídos da teoria dos grupos, acabam por tornar-se menos herméticos, graças a alguns desenhos, com a condição de "ver no espaço". O que estou a tentar ensinar-lhe é a ver num espaço 3d curvo.
Voltemos a este assunto de enantioformia, de inversão dos objetos quando atravessam a estrutura de garganta, em 2d ou em 3d. Consideremos, em 2d, geodésicas "radiais". A palavra tornou-se imprópria, pois um raio é em princípio uma reta que parte de um ponto. Trata-se na verdade de geodésicas a j constante. Ver uma figura, mais acima, onde essa coordenada azimutal foi indicada. Mas, para maior concisão, continuaremos a utilizar a palavra "radial" usando aspas. Repare que essa palavra "radial" é ainda uma consequência da escolha de um espaço de representação. Imagine que uma letra R (a qual não é idêntica à sua imagem em espelho, à sua imagem enantioforma) desliza, como uma decalcomania mal colada, ao longo da nossa passagem tórica, cada um dos seus pontos caminhando segundo uma geodésica. Essa letra vai encontrar-se "do outro lado". O que é interessante é olhar para o resultado da operação na projeção plana, no espaço de representação.
Representou-se uma espécie de fita, cujas bordas são constituídas por duas geodésicas. O que se constata? No espaço de representação, a letra R inverteu-se, tornou-se um "ia" russo, um R ao contrário, enantioformo. Começa-se agora a compreender porque a mão de Lanturlu, ao ressair no "nosso espaço de representação 3d", parece ter-se invertido, tornou-se enantioforma.