Buraco negro questionável e universo gêmeo

Cosmologia Buraco negro problemático.

Jean-Pierre Petit Observatório de Marselha, França Pierre Midy CRI Orsay, França Para correspondência:

Resumo

Partindo do chamado modelo de buraco negro, considerado como uma interpretação física da geometria de Schwarzschild, revisitamos o problema do destino de uma estrela de nêutrons quando ultrapassa seu limite de estabilidade. Apresentamos inicialmente uma nova ferramenta geométrica: a geometria hiper-tórica, por meio de exemplos em 2D e 3D (seção 2). Mostramos que as patologias associadas às métricas, decorrentes de seu elemento de linha expresso em um sistema de coordenadas dado, podem ser corrigidas por uma escolha mais adequada formulada em termos de "topologia local". Por exemplo, demonstramos que, nos dois exemplos apresentados, a superfície plana 2D e a hipersuperfície 3D cujos grupos de isometria são O2 e O3, não são simplesmente conexas.

Estendemos o método à geometria de Schwarzschild. Mostramos que as singularidades podem ser completamente eliminadas considerando uma hipersuperfície espaço-temporal não simplesmente conexa. Damos à geometria de Schwarzschild uma significância física diferente: um ponte ligando dois universos, o nosso e um universo gêmeo.

Demonstramos que o "congelamento do tempo", alicerce do modelo de buraco negro, é simplesmente uma consequência de uma escolha arbitrária de um marcador de tempo particular. Utilizando outro marcador, inspirado nos trabalhos de Eddington (1924), derivamos um cenário completamente diferente, implicando um arrastamento radial (semelhante ao arrastamento azimutal da métrica de Kerr). Mostramos que a solução de Schwarzschild pode ser interpretada como um "ponte espacial", ligando dois universos, dois espaços-tempo, atuando como uma ponte de mão única. Mostramos que o tempo de trânsito de uma partícula-teste é finito e curto, o que torna imediatamente o modelo clássico de buraco negro problemático.

Ao estender o grupo de isometria da métrica de Schwarzschild, mostramos que os dois universos são enantiomorfos (simétricos por P) e possuem marcadores de tempo opostos (t* = -t). Utilizando uma ferramenta da teoria dos grupos: a ação coadunta de um grupo sobre seu espaço de momentos, damos uma significância física a essa "inversão do tempo", através da superfície de garganta esférica, a esfera de Schwarzschild: quando uma partícula de massa positiva atravessa a ponte espacial, sua contribuição para o campo gravitacional é invertida: m* = -m (como mostrado por J.M. Souriau em 1974, a inversão do marcador de tempo é equivalente à inversão da massa e da energia).

Como a questão do destino de uma estrela de nêutrons desestabilizada permanece um problema aberto, apresentamos um projeto de modelo alternativo: o transporte hiperespacial de parte de sua matéria através de uma ponte espacial, essa matéria escoando para o universo gêmeo com velocidade relativística.

Enquanto isso, lembramos algumas falhas bem conhecidas do modelo de Kruskal, particularmente o fato de que ele não é assintoticamente lorentziano no infinito.

Sugerimos considerar a geometria de Schwarzschild como uma hipersuperfície imersa em um espaço de dez dimensões. Relacionando este trabalho a trabalhos anteriores baseados na teoria dos grupos, construímos um modelo simétrico CPT. A dualidade matéria-antimatéria é preservada nos dois dobras. Quando a matéria é transferida para o universo gêmeo, ela sofre uma simetria CPT e sua massa (sua contribuição para o campo gravitacional) é invertida. Mas permanece matéria. Da mesma forma, a antimatéria fluindo pela ponte espacial permanece antimatéria, com massa oposta, pois a inversão do marcador de tempo, como mostrado por Souriau, implica a inversão da massa.

1. O modelo de buraco negro.

As estrelas de nêutrons não podem ultrapassar uma massa crítica, próxima de 2,5 massas solares. Para massas maiores, seu material já não pode suportar mais a enorme pressão interna devida à força gravitacional. Então ocorre um colapso gravitacional. Durante muito tempo, os teóricos tentaram descrever o destino de um objeto assim. Ao examinar a métrica de Schwarzschild, aqui expressa em termos de

coordenadas, onde Rs é o chamado raio de Schwarzschild (1),

imaginava-se que esta solução da equação de Einstein:

(2) S = 0

com segundo membro nulo poderia resolver o problema. De fato, se t for escolhido como "tempo cosmológico de um observador externo", o tempo de queda livre de uma partícula-teste seguindo uma "geodésica radial", a partir de um ponto distante da esfera de Schwarzschild r = Rs, é encontrado infinito, enquanto esse tempo de queda livre Ds, expresso em tempo próprio, permanece finito. Então a "descrição física" é a seguinte:

• O objeto (uma estrela de nêutrons que ultrapassou seu limite de estabilidade) sofre um colapso gravitacional. Sua massa cai rapidamente em direção ao "centro geométrico do sistema", descrito como uma "singularidade central". Esse fenômeno se estende por uma duração finita Ds, em termos de tempo próprio s.

• Mas, para um "observador externo", localizado a certa distância do objeto, esse processo parece "congelado no tempo". Além disso, a esfera de Schwarzschild é uma superfície de deslocamento para o vermelho infinito (devido à nulidade do termo gtt da métrica em r = Rs).

Esse é o modelo de um buraco negro esfericamente simétrico.

r é identificado como uma "distância radial", o que significa que se pode pensar no que há "dentro da esfera de Schwarzschild". De forma grosseira, isso significa que se assume que a "topologia local" é "esférica": dentro da esfera de Schwarzschild, supõe-se que uma "pequena esfera está localizada", e assim por diante, até o "centro geométrico" do objeto.

Mais tarde, o modelo foi estendido à geometria axialmente simétrica (métrica de Kerr). Mas essa extensão não traz nenhuma mudança conceitual fundamental. É por isso que vamos nos concentrar, a seguir, em sistemas esfericamente simétricos (pensamos que este estudo poderá ser posteriormente estendido à métrica de Kerr).

É um pouco estranho que um objeto tão denso possa ser descrito por uma solução das equações (2), que a priori se refere a uma região vazia do Universo onde não há matéria-energia.

Se mantivermos a descrição (uma escolha particular de coordenadas), surgem muitas dificuldades. Por exemplo, quando r tende para Rs, o termo grr tende ao infinito.

A assinatura da métrica, expressa com essa escolha particular de coordenadas, é: ( + - - - ) para r > Rs ( - + - - ) para r < Rs

Quando uma partícula-teste penetra dentro da esfera de Schwarzschild, sua massa torna-se imaginária e sua velocidade maior que a da luz: ela se torna uma tachyon.

Considerando a mudança de assinatura, algumas pessoas disseram:

• Sem problema: dentro da esfera de Schwarzschild, r simplesmente se torna o tempo e t a distância radial.

Um cosmologista francês, Jean Heidmann, costuma dizer: "Quando se pensa em buracos negros, é preciso abandonar todo bom senso".

Enquanto isso, há muito poucos candidatos a buracos negros, o que é o ponto mais perturbador. De fato, as supernovas, anãs brancas e estrelas de nêutrons foram previstas antes de serem observadas. Por exemplo, Fritz Zwicky apresentou o modelo de supernova em uma famosa conferência dada no Caltech em 1931, antes que ninguém a tivesse observado. Mas anos após anos, o modelo foi confirmado e agora conhecemos centenas desses objetos. O mesmo ocorre com as estrelas de nêutrons em rotação, identificadas como pulsares. Por que há tão poucos buracos negros observados?

De qualquer forma, os astrofísicos acreditam que buracos negros existem, mesmo que haja tão poucos dados observacionais sobre eles. Eles "utilizam" modelos de "gigantescos buracos negros", supostamente localizados no centro de galáxias ou aglomerados de galáxias, para "explicar" algumas de suas características dinâmicas enigmáticas.

A seguir, desejamos sugerir um destino diferente para estrelas de nêutrons que ultrapassaram seu limite de estabilidade. Vamos começar apresentando novas ferramentas geométricas.

2. Geometria hiper-tórica.

Considere a métrica riemanniana g, em duas dimensões, cujo elemento de linha, escrito com um conjunto de duas coordenadas [r, θ], é:

(3)

onde:

é definido sobre R, módulo 2π.

Rs é uma constante.

Essa métrica torna-se assintoticamente euclidiana quando r tende ao infinito:

(4)

Neste sistema particular de coordenadas, a assinatura é: ( + , + ) para r > Rs ( - , + ) para r < Rs

O determinante:

(5)

torna-se infinito para r = Rs. Mostremos que isso se deve à escolha particular de coordenadas. Introduzimos a seguinte mudança de coordenadas:

(6)

O elemento de linha torna-se (7)

cujo determinante associado é:

(8)

Ele não se anula para todas as valores (o que, além disso, mostra que, em uma métrica, a nulidade do determinante do elemento de linha depende da escolha do sistema de coordenadas, como mostrado por Eddington em 1924 [ref.10] para a métrica de Schwarzschild). Quando θ tende a zero (o que corresponde a

esse determinante tende a:

θ varia de -infinito a +infinito, o que equivale a r ≥ Rs

A métrica g, qualquer que seja o sistema de coordenadas escolhido, descreve uma superfície, um objeto em duas dimensões. Essa última possui seu próprio sistema de geodésicas, fundamentalmente invariante em relação às coordenadas. Estudemos esse sistema em um sistema de coordenadas por meio das equações de Lagrange. Introduzimos a seguinte função F:

(9)

As equações de Lagrange correspondentes são:

(10)

(11)

A equação (11) dá:

(12)

h sendo positivo, negativo ou nulo. Além disso, se em (3) dividirmos ambos os membros por , obtemos, classicamente:

(13)

a partir da qual podemos derivar a equação diferencial que descreve as geodésicas planas, no sistema de coordenadas:

(14)

A condição |h| ≤ r, segundo (12), significa que o valor absoluto do cosseno do ângulo entre a tangente à geodésica e o vetor radial é ≤ 1.

Agora, coloquemos a superfície em R³, adicionando uma coordenada de imersão adicional z. Escolhemos coordenadas cilíndricas

A superfície é axialmente simétrica em relação ao eixo z.

As geodésicas (θ = constante) são as linhas meridianas dessa superfície, onde:

(15)

o que dá imediatamente a equação da curva meridiana dessa superfície, imersa em R³. Trata-se da parábola:

(16)

A Figura 1 mostra uma visão em 3D dessa superfície, imersa em R³, acompanhada de uma geodésica e de sua projeção em um plano com coordenadas polares.

Essa superfície não é simplesmente conexa. Entre as órbitas do grupo de isometria O2, encontramos um círculo de perímetro mínimo: o círculo da garganta (p = 2Rs).

Fig. 1: A superfície, imersa em R³

e sua representação em um sistema de coordenadas.

Na Figura 2, várias geodésicas são mostradas, nesse sistema de representação.

Fig. 2: Representação de algumas geodésicas. Fig. 3: Uma geodésica particular, atravessando o círculo da garganta.

Observe que essa representação das geodésicas em um plano não é isométrica. Se medirmos o comprimento nesse plano, ele não corresponde ao comprimento medido na superfície.

Se impusermos que o comprimento dS seja real, vemos que ele determina o que poderíamos chamar de topologia local. Chamemos uma estrutura geométrica assim um ponte toroidal. Também podemos dizer que essa superfície possui uma topologia toroidal local. Ela possui apenas um dobra, que pode ser considerado como a união de dois semidobras limitados, os quais são colados ao longo de suas bordas circulares, ao longo do círculo da garganta, cujo perímetro é 2Rs. Esses círculos não são linhas geodésicas (exceto essa geodésica muito especial que é o círculo da garganta, a única fechada). Em cada semidobra, quando a distância em relação ao "ponte toroidal" tende ao infinito, a métrica tende à métrica euclidiana (2). Na Figura 2, correspondente a uma representação [r, θ], as partes superiores das geodésicas atravessando o círculo da garganta são representadas por linhas contínuas, enquanto as partes correspondentes ao outro semidobra são representadas por linhas pontilhadas. Observe que um semidobra corresponde a (θ ∈ [0, π]), donde o outro corresponde a (θ ∈ [π, 2π]). O círculo da garganta corresponde a θ = 0. Resumo Página seguinte

A métrica g, qualquer que seja o sistema de coordenadas escolhido, descreve uma superfície, um objeto de duas dimensões. Esta última possui seu próprio sistema de geodésicas, fundamentalmente invariante em relação às coordenadas. Estudemos este sistema em um sistema de coordenadas por meio das equações de Lagrange. Introduzamos a seguinte função F:

(9)

As equações de Lagrange correspondentes são:

(10)

(11)

A equação (11) fornece:

(12)

h sendo positivo, negativo ou nulo. Além disso, se em (3) dividirmos ambos os membros por , obtemos, classicamente:

(13)

a partir da qual podemos derivar a equação diferencial que descreve as geodésicas planas, no sistema de coordenadas:

(14)

A condição |h| ≤ r, segundo (12), significa que o valor absoluto do cosseno do ângulo entre a tangente à geodésica e o vetor radial é ≤ 1.

Agora, coloquemos a superfície em R³, adicionando uma coordenada de imersão adicional z. Escolhemos coordenadas cilíndricas

A superfície é axialmente simétrica em relação ao eixo z.

As geodésicas ( = constante) são as linhas meridianas dessa superfície, onde:

(15)

o que fornece imediatamente a equação da curva meridiana dessa superfície, imersa em R³. Trata-se da parábola:

(16)

A Figura 1 mostra uma visão em 3D dessa superfície, imersa em R³, acompanhada de uma geodésica e de sua projeção em um plano com coordenadas polares.

Esta superfície não é simplesmente conexa. Entre as órbitas do grupo de isometria O2, encontramos um círculo de perímetro mínimo: o círculo da garganta (p = 2 Rs).

Fig. 1: A superfície, imersa em R3

e sua representação em um sistema de coordenadas.

Na Figura 2, são mostradas várias geodésicas, nesse sistema de representação.

Fig. 2: Representação de algumas geodésicas. Fig. 3: Uma geodésica particular, atravessando o círculo da garganta.

Observe que essa representação das geodésicas em um plano não é isométrica. Se medirmos o comprimento nesse plano, ele não corresponde ao comprimento medido sobre a superfície.

Se impusermos que o comprimento dS seja real, vemos que ele determina o que poderíamos chamar de topologia local. Chamemos essa estrutura geométrica de um ponte toroidal. Também podemos dizer que esta superfície possui uma topologia toroidal local. Ela possui uma única dobra, que pode ser considerada como um conjunto de duas metades limitadas, as quais são coladas ao longo de seus bordos circulares ao longo do círculo da garganta, cujo perímetro é 2 Rs. Esses círculos não são linhas geodésicas (exceto essa geodésica muito especial que é o círculo da garganta, a única fechada). Em cada metade, quando a distância em relação à "ponte toroidal" tende ao infinito, a métrica tende para a métrica euclidiana (2). Na Figura 2, correspondente à representação [ r , ], as partes superiores das geodésicas que atravessam o círculo da garganta são representadas por linhas contínuas, enquanto as partes correspondentes à outra metade são representadas por linhas pontilhadas. Observe que uma metade corresponde a ( ) , donde a outra corresponde a ( ) . O círculo da garganta corresponde a = 0 . Resumo Página seguinte