- Geodésicas em uma representação [r, j].
Introduzindo (6) em (14), com dr = thr dr, obtemos: (17)
o que fornece a representação [r, j] das geodésicas. Quando r tende para zero, dj/dr tende para um valor finito, de modo que a tangente do ângulo de inclinação: (18)
tende para zero na origem. A imagem do círculo do pescoço de Schwarzschild, nessa representação, é um ponto cônico. ** ** **
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Fig. 4: A geodésica mostrada na figura 3, em um sistema de coordenadas (r, j).
A interseção do círculo do pescoço corresponde ao ponto O
Esta é uma representação isométrica das geodésicas. Notamos que também podemos representar a superfície em um sistema [z, r, j], mas este não é mais uma representação isométrica. Obtemos então o meridiano associado: (19)
Quando r tende para zero, z(r) é linear. Quando tende para o infinito, a função tende para uma parábola.
Fig. 5: Meridiano da superfície, em uma representação não isométrica [r, j] da superfície. ****
A imagem do círculo do pescoço de Schwarzschild, nessa representação, é um ponto cônico. ** **
- **Extensão a uma hipersuperfície 3D com simetria esférica. **
Isso pode ser estendido a uma hipersuperfície 3D, descrita pelo elemento de linha: (20)
Essa métrica refere-se a uma hipersuperfície 3D, aqui expressa em um sistema de coordenadas [r, q, j]. A variável r não é uma "distância radial", correspondendo às "coordenadas esféricas". Encontramos patologias semelhantes nessa nova expressão do elemento de linha, que podem ser eliminadas introduzindo a mesma mudança de coordenadas (6).
[ r, q, j ] ® [ r, q, j ]
O elemento de linha torna-se então: (21)
Sua assinatura torna-se ( +, +, + ) e seu determinante: (22)
não se anula mais.
As geodésicas dessa hipersuperfície estão localizadas em planos. q = p/2 é um deles. Em sua representação [r, j], elas coincidem com as da figura 2. O grupo de isometria é O3 e as órbitas correspondentes são esferas. Entre elas, uma possui área mínima (a esfera do pescoço de tal ponte toroidal 3D). Os grandes círculos das esferas-orbitas não são curvas geodésicas, exceto os casos particulares localizados na esfera do pescoço cujo perímetro é 2 p Rs. As geodésicas dessa esfera especial são as únicas fechadas. Podemos chamar essa geometria especial de geometria hipertoroidal. Essa superfície 3D não é simplesmente conexa. Ela possui um único dobra 3D, que pode ser considerado como um conjunto de dois meios dobras 3D limitados, colados ao longo de seu bordo esférico (a esfera do pescoço). À grande distância desse "ponte hipertoroidal", a métrica tende para a métrica euclidiana, aqui escrita em coordenadas esféricas: (23)
ds² = dr² + r² ( dq² + sin²q dj² )
- **Geometria de Schwarzschild. **
Classicamente, considera-se que seu grupo de isometria é SO3 × R, onde R refere-se às translações de uma dimensão. Diz-se então que essa métrica é independente do tempo e com simetria esférica, considerando que R corresponde às translações temporais.
Expressa em um sistema de coordenadas [x°, r, q, j], onde x° é o marcador do tempo, o elemento de linha é (24)
Classicamente, assume-se x° = ct, o que é suposto definir o tempo cósmico t "de um observador externo". Quando r >> Rs, (21) tende para a métrica de Minkowski. Classicamente, r é assimilado a uma coordenada radial. (21) mostra uma singularidade do termo grr e uma mudança de assinatura quando r = Rs.
Mais uma vez, podemos regularizar essa métrica usando a mudança de coordenadas (6), passando para um sistema [t, r, q, j]. O elemento de linha torna-se então: (25)
As órbitas do grupo de isometria O3 são esferas. Entre elas, uma, a esfera do pescoço (esfera de Schwarzschild), possui área mínima. A hipersuperfície não é simplesmente conexa. Ela forma um único dobra espaço-tempo, que pode ser considerado como um conjunto de dois meios dobras 4D (dobras gêmeas), o primeiro correspondendo a r > 0 e o segundo a r < 0, donde a esfera do pescoço corresponde a r = 0. Podemos calcular as geodésicas localizadas no plano q = p/2. Seguindo as "coordenadas esféricas":
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Fig. 6: Coordenadas esféricas.
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o elemento é dr² = r² ( dq² + sin²q dj² )
Os círculos j = constante são geodésicas da esfera, mas, evidentemente, não representam todas as geodésicas da superfície. Apenas as que passam por dois pontos antípodas (polos).
Os círculos q = constante não são geodésicas, exceto aquele correspondente a q = p/2 (equador).
Em um sistema de coordenadas [r ≥ Rs, j], essas geodésicas (com comprimento não nulo) correspondem a: (26)
A escolha do conjunto de constantes [l, h] determina a geodésica. Entre elas, encontramos geodésicas do tipo hiperbólico, que não cortam a esfera do pescoço r = Rs. Ver figura 7.
Figura 7: Geometria de Schwarzschild.
Representação [r, j] de uma geodésica plana do tipo hiperbólico que não corta a esfera do pescoço r = Rs
Também encontramos geodésicas quase elípticas. Ver figura 8
**Fig. 8: Geometria de Schwarzschild.
Representação [r, j] de geodésicas quase elípticas. **
Agora vamos analisar as geodésicas que cortam a esfera do pescoço r = Rs. Em uma representação [r, j], chamamos a de ângulo entre a tangente à geodésica e o vetor radial. (27)
A primeira equação de Lagrange dá: (28)
Para valores r ≥ Rs, o parâmetro l é estritamente positivo. Outra equação de Lagrange é: (29)
e fornece uma evolução monotônica do ângulo j em relação ao tempo próprio s. Nesse plano (q = p/2), a rotação depende do sinal de h.
De acordo com essa nova interpretação da geometria de Schwarzschild (considerada como uma hipersuperfície não simplesmente conexa), podemos representar a geodésica em um sistema [r, j] como mostrado na figura 9.
Figura 9a: Representação [r, j] de uma geodésica que corta a esfera do pescoço **** (esfera de Schwarzschild) correspondente a h ≥ Rs
Uma porção da geodésica foi representada com linha pontilhada, pois é suposto pertencer ao segundo meio-plano 3D, ligado ao primeiro ao longo da esfera do pescoço, a esfera de Schwarzschild. Isso sugere uma ruptura. Mas essa última é devido a esse sistema particular de representação [r, j], que é mais familiar à nossa (pobre) intuição geométrica humana. Em um espaço de representação 3D, obtemos a figura 9b. As partículas parecem "rebater" na esfera de Schwarzschild.
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Fig. 9b: No espaço euclidiano 3D, as partículas parecem rebater na esfera de Schwarzschild.
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Do ponto de vista dessa interpretação, "nada há no interior da esfera de Schwarzschild", pois, nesse "interior", estamos simplesmente "fora da hipersuperfície". Lembre-se que a esfera do pescoço, a esfera de Schwarzschild, corresponde ao valor r = 0. O primeiro meio-plano corresponde a (r > 0) e o segundo a (r < 0).
Em uma representação [r, j], a aparência da geodésica torna-se bastante diferente. Vamos calcular a tangente do ângulo b, entre a geodésica e o vetor radial (ver figura 6). (30)
Quando r tende para ±0, thr ≈ r, donde: (31)
Na representação [r, j], as geodésicas que passam de um meio-plano para outro são tangentes ao vetor radial. Não há mais descontinuidade angular na origem, esta última sendo a imagem do círculo do pescoço (r = 0). Para uma descrição completa dessas geodésicas, devemos voltar ao elemento de linha expresso no sistema de coordenadas [t = x°/c, r, q, j] (24), usando o sistema de equações de Lagrange, com: (32)
Entre essas equações, encontramos: (33)
Para um valor dado de h, a evolução de j é monotônica, em relação ao tempo próprio s.
Fig. 10: Representação [r, j] de uma geodésica que passa ** de um meio-plano (r > 0) ao outro (r < 0). **
Como antes, a porção da geodésica que pertence ao segundo meio-plano 3D foi representada com linha pontilhada.
Não podemos dar uma imersão da hipersuperfície 4D, como fizemos no início do artigo para uma superfície 2D. Além disso, estamos tratando de geodésicas 4D, não 3D. Os espaços [r, q, j] e [r, q, j] nada mais são do que espaços de representação, que são supostos tornar as coisas um pouco mais claras. As verdadeiras geodésicas estão inscritas em um espaço 4D. De qualquer forma, a representação [r, q, j] sugere um "ponte hipertoroidal" 3D, enquanto a representação [r, q, j] sugere um "hipercone" 3D. Nessa segunda (3D) representação dessa superfície 2D, as geodésicas vão de um meio-plano ao outro passando pelo ponto (r = 0). Isso se parece com um cone 2D. Ver figura 11
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Fig. 11: Geodésica de um cone. Direita: uma superfície com um ponto cônico.
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