- A escolha de um marcador temporal.
Nas coordenadas [t, r, q, j], correspondendo ao elemento de linha (25), o determinante do tensor métrico é: (34)
que se anula quando r se torna nulo. No entanto, em 1924, Eddington [10] mostrou que a nulidade do tensor métrico dependia das coordenadas. Voltemos primeiro à forma inicial (35)
Insistimos no fato de que a escolha do sistema de coordenadas é puramente arbitrária, pois o tensor métrico, solução da equação tensorial (36)
S = 0
é fundamentalmente invariante sob mudança de coordenadas. Decidimos que as partículas seguem geodésicas. As coordenadas escolhidas arbitrariamente dão uma significância física a esta solução geométrica. Podemos escolher x° = ct, c sendo uma constante. Mas podemos escolher outro sistema de referência. É a nossa escolha. A única condição, para um marcador cronológico escolhido x°, ou t, x, é que o tensor métrico seja assintoticamente euclidiano: (37)
ou: (38)
como expresso em um sistema de coordenadas cartesianas. Lembre-se que um tensor métrico riemanniano é euclidiano se for possível encontrar um sistema de coordenadas onde a forma quadrática do elemento de linha tenha coeficientes constantes. O conjunto dos sinais constitui a assinatura. Se esta última for (+ - - -), trata-se de um tensor métrico de Minkowski. (39)
sendo identificado a uma distância elementar, parece razoável impor que o tensor métrico seja assintoticamente euclidiano "a longa distância", independentemente da definição escolhida para tal distância (r ou r, como acima).
A definição do "tempo cósmico" ou do "marcador espacial" permanece uma escolha completamente livre. Inversamente, não podemos modificar o tempo próprio s, ou mais precisamente, o intervalo de tempo Ds entre dois pontos dados da variedade, pois é fundamentalmente independente das coordenadas. Além disso, supõe-se que as partículas possam se mover em ambas as direções ao longo de uma geodésica dada.
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Figura 12: O percurso de uma partícula ao longo de uma geodésica dada.
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O percurso de uma partícula-teste ao longo de uma geodésica é um fenômeno. Outra geodésica da variedade é suposta corresponder a um "observador externo em repouso". Mas o estado de repouso depende da escolha das coordenadas (x°, x1, x2, x3), que é completamente arbitrária.
Este "observador externo" é suposto estar localizado em uma região da variedade onde o tensor métrico é euclidiano ou quase-euclidiano, ou seja, da forma (37). Então as condições de repouso significam que (40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Para um tal observador em repouso, qualquer intervalo de tempo próprio identifica-se com o intervalo de "tempo cósmico" arbitrariamente escolhido: (41)
Ds = Dx°
...A escolha do tempo cósmico sendo puramente arbitrária, a evolução da partícula-teste no tempo depende desta escolha. Considere dois pontos A e B em uma geodésica dada, supostamente correspondendo a um observador externo. Estes pontos são eventos espaço-temporais. Na figura 13, as linhas pontilhadas são supostas corresponderem a um tempo cósmico constante x°.
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Figura 13: Um "observador externo em repouso", "considerando" a evolução de uma partícula-teste em uma geodésica. Tempo cósmico x°
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Considere agora outra escolha x para o tempo cósmico. Veja a figura 14.
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Figura 14: Um "observador externo em repouso", "considerando" a evolução de uma partícula-teste em uma geodésica. Tempo cósmico x **
Precisamos dizer que as linhas pontilhadas não representam as trajetórias dos fótons. Os fótons se movem ao longo de geodésicas particulares, geodésicas nulas, que são invariantes sob mudança de coordenadas.
Temos ainda Ds(O) = Dx° = Dx, mas os intervalos Ds'(TP) e Ds"(TP) podem ser muito diferentes, embora se refiram à mesma geodésica, pois os pares (A',B') e (A",B") podem diferir. Fundamentalmente, eles dependem da coordenada temporal escolhida, ou do "marcador temporal".
- A mudança de coordenadas temporais de Eddington e sua forma estendida.
A mudança de coordenadas seguinte, introduzida por Eddington em 1924, ilustrando este ponto, é: (42)
O elemento de linha torna-se então: (43)
Como o termo gxx se anula na esfera r = Rs, esta se torna uma superfície de desvio para o vermelho infinito (como no elemento de linha clássico de Schwarzschild). A matriz torna-se: (44)
cujo determinante é: (45)
- r 4 sin2 q
e não se anula, qualquer que seja o valor de r. Por razões que serão explicadas mais tarde, estendamos esta mudança de coordenadas para: (46)
Expresso no sistema de coordenadas (x, r, q, j), o elemento de linha torna-se: (47)
cujo determinante tem a mesma forma (44). Notamos que a mudança de coordenadas de Eddington corresponde ao valor d = -1. Estudamos as geodésicas utilizando as equações de Lagrange, baseadas na função: (48)
com:
Além disso, a partir da expressão do elemento de linha, temos classicamente para partículas materiais (ds ≠ 0): (49)
Uma equação de Lagrange dá: (50)
Considere a geodésica plana q = p/2, o que dá: (51)
Ao longo de uma geodésica, em relação ao tempo próprio s, a evolução de j é monotônica. Outra equação de Lagrange dá: (52)
ou seja: (53)
Combinando com (49), de forma surpreendente, d desaparece: (54)
Notamos que se dr = 0 (velocidade nula) quando r tende ao infinito, isso corresponde a l = 1. Quando r tende ao infinito, de acordo com (53): (55)
Se l ≥ 1, quando r tende ao infinito, obtemos: (56)
com
obtemos (57)
No sistema [r, j], recuperamos, para as geodésicas não nulas (ds ≠ 0), a expressão diferencial clássica: (58)
que fornece os padrões das figuras 7, 8 e 9. Podemos agora definir um novo tempo cósmico por: (59)
x = ct
...O elemento de linha (43) permanece assintoticamente euclidiano. A "grande distância", o tempo próprio Ds de um observador em repouso identifica-se com o intervalo Dt.
- Intervalos de tempo para os caminhos radiais.
Podemos calcular o intervalo de tempo Dt = Dx/c de uma partícula de massa não nula seguindo uma geodésica, a partir da equação diferencial: (60)
Para as "geodésicas radiais" (h = 0): (61)
Próximo à esfera de Schwarzschild, obtemos: (62)
l = 1 corresponde a uma partícula-teste cuja velocidade tende a zero no infinito.
Considere este caso particular: (63)
De acordo com (54)
n = -1 corresponde aos caminhos (dr < 0).
n = +1 corresponde aos caminhos (dr > 0).
...Note que a mudança de coordenadas particular de Eddington corresponde (para r ≥ Rs) a d = +1. Quando calculamos o tempo de percurso radial Dt de uma partícula-teste, em relação a este novo tempo cósmico, descobrimos que este último depende da direção do movimento e do sinal de d, ou seja, do produto dn. Quando é positivo, o tempo de percurso de uma partícula-teste ao longo de uma geodésica radial (r ≥ Rs) é finito. Quando é negativo, este tempo de percurso torna-se infinito.
...Como primeira consequência, se aplicado ao modelo de buraco negro com simetria esférica, a mudança de coordenadas de Eddington fornece um tempo de queda livre finito Dt. Quando r = Rs, a velocidade da partícula torna-se: (64)
Uma partícula-teste, caindo em direção à esfera de Schwarzschild, atinge-a com a velocidade c.
- Velocidade da luz.
Os fótons se movem ao longo de geodésicas nulas, correspondendo a: (65)
Considere a velocidade: (66)
De acordo com (65), obtemos: (67)
Quando r tende ao infinito, vj tende a ±c.
Quando dr < 0, temos n < 1. Então, quando r = Rs para os caminhos (dr < 0): (68)
Quando uma partícula-teste cai em direção à esfera de Schwarzschild, ao longo de um caminho radial, ela a atinge com a velocidade da luz. Em resumo: (69)
(70)
A velocidade da luz é diferente conforme consideramos os caminhos (dr > 0) ou (dr < 0).
- Efeito de arrasto de quadro.
Considere o tensor métrico de Kerr: (71)
onde r é uma coordenada espacial diferente da definida acima. Reproduzimos simplesmente a equação 7.110 da referência [1]. Calcule a velocidade do fóton (ds = 0) para movimentos tangentes a círculos (q = p/2, r = constante). Encontramos: (72)
ou seja, duas valores distintos. Isso corresponde a um arrasto azimutal e é uma propriedade do tensor métrico de Kerr. De acordo com a referência [1], 7.7, "A solução de Kerr e a rotação", lemos:
Um efeito físico muito interessante decorre da natureza rotacional da solução de Kerr; um corpo em movimento geodésico sofre uma força proporcional ao parâmetro a, lembrando uma força de Coriolis. Em termos vagos, podemos pensar que a fonte girante "arrasta" o espaço ao redor dela. Em um sentido machiano, as fontes "se confrontam" com as condições de limite lorentzianas no infinito para estabelecer um quadro inercial local.
Reformulado em termos de coordenadas de Eddington, o buraco negro, considerado como fonte do campo, induz um arrasto radial do quadro.
- Buraco negro e fonte branca.
Na seção 4, sugerimos uma nova interpretação da geometria de Schwarzschild, onde a esfera de Schwarzschild, ver figura 9, se comporta como uma esfera de garganta ligando dois "dobras semi-espaço-tempo". Podemos imaginar uma estrutura semelhante combinando as duas geometrias de Schwarzschild seguintes: (73)
(74)
Essas duas são derivadas de (43), a primeira expressão (73) correspondendo a d = -1 e a segunda (74) a d = +1. A conexão não apresenta nenhum problema, pois d não aparece no cálculo da representação [r, j] das geodésicas. Ver equação (58). Obtemos assim um par "buraco negro - fonte branca", sem "singularidade central". A matéria pode entrar no buraco negro, mas não pode sair. Por outro lado, a matéria pode escapar da fonte branca, mas não pode entrar nela. O tempo de trânsito é finito em uma direção e infinito na outra. Calculado com o novo tempo cósmico x, este tempo de trânsito finito é semelhante ao calculado com o tempo próprio s. Para os caminhos radiais: (75)
Este tempo é muito curto. Como mostrado neste artigo, o modelo de buraco negro baseia-se em uma escolha particular das coordenadas, especialmente do tempo cósmico. Como destacado na seção 6, a escolha do marcador temporal é puramente arbitrária. A escolha clássica leva a um sistema quase-estacionário, no qual a queda da matéria, injetada no buraco negro, parece "congelada no tempo" do ponto de vista de um observador externo. No entanto, este artigo demonstra que outra escolha do marcador temporal, derivada da ideia de Eddington, "descongela" o processo. Assim, do ponto de vista considerado, os buracos negros, ou os pares buraco negro-fonte branca, não podem existir como objetos permanentes, pois podem engolir dezenas de massas solares por milissegundo. Resta, portanto, uma questão em aberto:
- O que acontece quando uma estrela de nêutrons ultrapassa seu limite de estabilidade?
- Espaço de representação.
Antes de tentar apresentar um projeto alternativo de modelo, algumas palavras sobre o que poderíamos chamar de "espaços de representação". No início do artigo, estudamos uma superfície 2D definida pelo seu elemento de linha. Mostrou-se possível imergir esta superfície em R3, o que nos deu uma representação isométrica deste objeto geométrico. De passagem, mencionamos uma representação [r, j].
Não é possível dar uma representação evidente de uma hipersuperfície quadridimensional, pois não podemos desenhá-la nem mostrar figuras sobre ela. No entanto, a hipersuperfície pode ser representada em muitos espaços de representação, correspondendo a diversos escolhas de coordenadas, pois o objeto é fundamentalmente invariante sob mudança de coordenadas. Por exemplo, podemos introduzir a mudança (6). O elemento de linha torna-se então: (76)
para r > 0
e: (77)
para r < 0.
As geodésicas "radiais" (por exemplo q = p/2, dj = 0) convergem para o centro geométrico O do sistema (neste caso particular de representação). Este ponto é comparável a um "ponto hiperbólico". Uma simetria em torno de um ponto em um espaço 3D é uma simetria P.
Neste sistema [t, r, q, j], o elemento de linha de Schwarzschild é simétrico em relação a P. Também é independente do tempo (invariante sob translação temporal, ou seja, correspondendo a um estado estacionário) e simétrico temporalmente (T-simétrico), invariante sob a transformação:
t → -t
Reescrito em termos de coordenadas de Eddington, o buraco negro, considerado como fonte do campo, induz um arrasto radial do quadro.
- Buraco negro e fonte branca.
Na seção 4, sugerimos uma nova interpretação da geometria de Schwarzschild, onde a esfera de Schwarzschild, ver figura 9, se comporta como uma esfera de garganta ligando dois "dobros de metade do espaço-tempo". Podemos imaginar uma estrutura semelhante combinando as duas geometrias de Schwarzschild a seguir: (73)
(74)
Essas duas são derivadas de (43), a primeira expressão (73) correspondendo a d = -1 e a segunda (74) a d = +1. A ligação não apresenta nenhum problema, pois d não aparece no cálculo da representação [r, j] das geodésicas. Ver equação (58). Obtemos um par "buraco negro - fonte branca", sem "singularidade central". A matéria pode entrar no buraco negro, mas não pode sair. Por outro lado, a matéria pode escapar da fonte branca, mas não pode entrar. O tempo de trânsito é finito em um sentido e infinito no outro. Calculado com o novo tempo cósmico x, o tempo de trânsito finito é semelhante ao calculado com o tempo próprio s. Para os caminhos radiais: (75)
Esse tempo é muito curto. Como mostrado neste artigo, o modelo de buraco negro baseia-se em uma escolha particular das coordenadas, especialmente do tempo cósmico. Como indicado na seção 6, a escolha do marcador temporal é puramente arbitrária. A escolha clássica fornece um sistema quase estacionário, onde a queda da matéria, derramada no buraco negro, é "congelada no tempo", em relação a um observador externo. Mas este artigo mostra que outra escolha do marcador temporal, derivada da ideia de Eddington, "descongela" o processo. Do ponto de vista, os buracos negros, ou os pares buraco negro-fonte branca, não podem existir como objetos permanentes, pois podem engolir dezenas de massas solares por milissegundo. Resta, portanto, uma questão em aberto:
- O que acontece quando a estrela de nêutrons ultrapassa seu limite de estabilidade?
- Espaço de representação.
Antes de tentar apresentar um projeto alternativo de modelo, algumas palavras sobre o que poderíamos chamar de "espaços de representação". No início do artigo, estudamos uma superfície 2D definida por seu elemento de linha. Ficou evidente que era possível imergir essa superfície em R3, o que nos deu uma representação isométrica desse objeto geométrico. De passagem, mencionamos uma representação [r, j].
Não é possível dar uma representação evidente de uma hipersuperfície quadridimensional, pois não podemos desenhá-la nem mostrar figuras. Mas a hipersuperfície pode ser representada em muitos espaços de representação, correspondendo a diversos escolhas de coordenadas, pois o objeto é fundamentalmente invariante sob mudança de coordenadas. Por exemplo, podemos introduzir a mudança (6). Então o elemento de linha torna-se: (76)
para r > 0
e: (77)
para r < 0.
As geodésicas "radiais" (por exemplo q = p/2, dj = 0) convergem para o centro geométrico O do sistema (neste representação particular). Este ponto é comparável a um "ponto hiperbólico". A simetria em relação a um ponto em um espaço 3D é uma simetria P.
Neste sistema [t, r, q, j], o elemento de linha de Schwarzschild é P-simétrico. Também é independente do tempo (invariante por translação temporal, ou seja, corresponde a um estado estacionário) e T-simétrico, invariante por:
t → -t