- Grupos de isometria.
Seja a uma matriz de rotação em 3D. Escreva: (78)
O elemento do grupo SO3 × R pode ser representado pela matriz: (79)
que é o produto de duas matrizes. A primeira: (80)
pertence a SO3.
e a segunda: (81)
pertence ao grupo R das translações temporais. Introduzamos as simetrias P e T. Obtemos um grupo com quatro componentes, cujo elemento é: (82)
Trata-se do produto de duas matrizes: (83)
e:
(84)
Chamemos este segundo subgrupo de E1 (grupo euclidiano unidimensional). Na representação [t, r, q, j], o grupo de isometria é O3 × E1. Voltemos à expressão do elemento de linha no sistema de coordenadas [t, r, q, j]: (85)
...Classicamente, considera-se que o grupo de isometria associado é SO3 × R, o que não é o maior. Na verdade, é O3 × E1, pois o elemento de linha também é invariante sob as inversões espacial e temporal.
Consideremos agora o elemento de linha expresso na forma "estendida de Eddington" (86)
que escrevemos: (87)
Introduzamos as coordenadas cartesianas espaciais [x1, x2, x3]: (88)
(89)
(90)
O elemento de linha pode então ser expresso em termos das coordenadas [x, x1, x2, x3]. (91)
Agora, buscamos o grupo de isometria da métrica, tal como expressa neste sistema de coordenadas específico. Temos primeiramente a simetria P. O elemento de linha é invariante sob: (92)
x1 → -x1
x2 → -x2
x3 → -x3
Também é invariante sob a mudança: (93)
x → -x
d → -d
E sob as translações temporais: x = x + ε. Isso corresponde ao seguinte grupo com quatro componentes:
Seu elemento é o produto de duas matrizes. A primeira: (94)
corresponde a O3 e a segunda forma um segundo subgrupo cujo elemento é: (95)
Chamemos este segundo subgrupo de "TF".
O grupo de isometria de (86) é, portanto:
O3 × TF
Consideremos agora a métrica de Schwarzschild expressa no sistema de coordenadas [t = x/c, r, q, j]. Podemos agrupar as duas expressões (76) e (77) em: (96)
Lembre-se que d = -1 trata a metade do espaço-tempo r > 0 enquanto d = +1 trata a segunda metade do espaço-tempo r < 0, se considerarmos que o "buraco negro" está localizado no nosso repli e a "fonte branca" no "repli gêmeo".
Se a situação for invertida, ou seja, se o "buraco negro" estiver no repli gêmeo e a "fonte branca" no nosso, obtemos:
d = +1 trata a metade do espaço-tempo r > 0
d = -1 trata a metade do espaço-tempo r < 0
Consideremos o primeiro caso (o "buraco negro" está no nosso universo e a "fonte branca" no repli gêmeo). Neste caso, a métrica é: (97)
Ao realizar a mudança:
r → -r
t → -t
d → -d
obtemos a segunda métrica: (98)
Observe que a nulidade do determinante quando r = 0 corresponderia à inversão local do espaço (enantiomorfismo) e da coordenada temporal no ponto (r = 0). De fato, precisamos de um determinante não nulo para definir as coordenadas gaussianas. Ver referência [1] 2.4
Se o determinante for não nulo, é possível definir uma série de hipersuperfícies (x° ou x, ou t = constante) (correspondendo a um valor constante do marcador cronológico escolhido), ortogonais às linhas geodésicas das coordenadas x° ou x ou t ("linhas mundo" para os "pontos estáveis").
Fig.15: Após a fig. 2.1 da referência [1]
Podemos expressar (97) e (98) em coordenadas cartesianas, como anteriormente, e encontrar (92) e (93). O grupo de isometria de (96) torna-se: (99)
Os dois replis do espaço-tempo são PT-simétricos.
Lembre-se que Andrei Sakharov foi o primeiro, em 1967 (referências [26] a [30]), a sugerir que um universo poderia ser composto por dois universos gêmeos, o nosso e um universo gêmeo, com "tempos opostos". Mais tarde, ele sugeriu que o repli gêmeo poderia ser enantiomórfico.
- O significado físico da inversão do tempo cósmico t.
Esta inversão do tempo é intrigante. Isso significa que o marcador temporal t é invertido ao seguir uma geodésica, do repli ao outro. Isso implica que o relógio de um "passageiro", atravessando este ponte hiperbólica, seria invertido?
Acima, dissemos que um par "buraco negro - fonte branca" poderia existir, onde o "buraco negro" estaria localizado no repli gêmeo e a "fonte branca" no outro. Isso significaria que este "passageiro-teste" poderia mergulhar no primeiro ponte hiperbólica e sair pelo segundo. Ele poderia voltar ao seu ponto de partida espacial e "matar seu pai"?
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Fig.16: Uma viagem (esquemática) paradoxal.
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A resposta é não, pois o sinal do incremento elementar ds do seu tempo próprio não muda ao longo da geodésica que ele segue. Então, qual é o significado físico de t? Nenhum. É simplesmente uma coordenada. *
Apenas o tempo próprio tem significado físico. *
Então, qual é a consequência da inversão desta coordenada temporal?
Devemos estudar a ação coadjunta do grupo em seu espaço de momento (referências [11] e [12]). O elemento do grupo é (100)
Trata-se de um grupo com duas componentes (m = ±1), de dimensão 4.
A matriz inversa é: (101)
Calcule o elemento da álgebra de Lie. Escreva: (102)
da = w d e = e
Agora, calcule: dg' = g⁻¹ × dg × g (103)
(104)
Para calcular a ação coadjunta (ver referência [11]), introduzimos o escalar: (105)
cuja invariância é garantida se: (106)
ou seja: (107)
A identificação fornece a ação coadjunta do grupo em seu momento de quatro componentes: (108)
( l, m )
Lembre-se que o número de componentes do momento é igual à dimensão do grupo. (109)
(110)
m' = m m
Podemos identificar m à massa (ou à energia E = mc², indistintamente). (110) significa que quando uma partícula atravessa a "esfera do colo", sua massa é invertida (m' = -m). Isso não é surpreendente e dá um significado muito físico a esta "inversão da coordenada temporal". ... Seguindo J.M. Souriau [12], podemos chamar a componente (m = +1) do grupo de "ortocrônicas", e a componente (m = -1) de "antícrônicas". Os elementos da componente antícrônica invertem a massa. A simetria temporal é equivalente à simetria m, como mostra J.M. Souriau ([12] p.197, capítulo inversão do tempo e do espaço).
- Equações de campo acopladas subsequentes.
Partimos de uma equação de campo com membro segundo nulo único: (111)
S = 0
que era suposto derivar de uma equação completa (de Einstein): (112)
S = c T
aplicada ao vácuo (T = 0). Podemos supor que a geometria completa pode ser descrita por duas "métricas conjugadas" g e g*, a partir das quais podemos construir dois tensores geométricos de Einstein S e S*. Ver referências [13] a [15].
Se os dois meios espaço-tempo estiverem vazios, o par ( g, g*) é solução do sistema: (113)
S = 0
(114)
S* = 0
(Uma solução exata estacionária do sistema (113) e (114) é dada na referência [16]). Agora podemos preencher o primeiro repli do espaço-tempo com massa positiva (energia e pressão positivas), correspondendo a um campo tensorial T, e o segundo com massa negativa (energia negativa), e assumimos que o campo depende dos dois campos tensoriais, segundo o formalismo seguinte: (115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T* - T )
o que corresponde a geometrias conjugadas: (117)
S* = - S
Observe que isso definitivamente não significa que g* = - g!
Os tensores T e T* podem ser representados por densidades de massa ρ e ρ* e pressões p e p*.
Aqui, assumimos que ρ, ρ*, p e p* são todos positivos, para mostrar que "é o mesmo tipo de matéria". O sinal negativo indica que a "matéria gêmea" se comporta como uma massa negativa (e energia e pressão negativas). Este sistema de equações de campo foi apresentado e estudado em artigos anteriores (referências [13] a [15]).
- Um projeto: o modelo de transferência hiperespacial.
Nos artigos referenciados, soluções acopladas estacionárias [16] e soluções uniformes não estacionárias ([14], [15] e [17]) foram apresentadas. Queremos construir soluções não estacionárias e não uniformes do sistema (115) mais (116). Por exemplo, considere condições iniciais onde a matéria está presente no nosso repli do espaço-tempo F, o segundo repli F* estando vazio. O sistema correspondente seria: (118)
S = c T (119)
S* = - c T
... Uma solução estacionária deste sistema foi apresentada em um artigo anterior [16]. Neste caso, a matéria está presente apenas no repli F. Pode descrever as geometrias conjugadas correspondentes à presença de uma estrela de nêutrons neste repli, o nosso, a porção adjacente do segundo (gêmeo) repli F* estando vazia. Inicialmente, os dois replis não estão conectados. A solução, fora da estrela de nêutrons, obedece: (120)
S = 0
(121)
S* = 0
... Em seguida, a matéria é colocada na estrela de nêutrons, até atingir a criticidade. Especialistas sabem que o primeiro sintoma da criticidade é o aumento súbito da pressão até o infinito no centro da estrela de nêutrons (suposta esférica simétrica), segundo o modelo de Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) (ref. [1], equação 144.22). Acreditamos que este aumento atua sobre os valores locais das constantes da física (velocidade da luz, constante gravitacional, massa). Modelos com "constantes variáveis" foram inicialmente introduzidos pelos autores ([18], [19], [20] e [14]). Posteriormente, outros autores desenvolveram este novo conceito, de uma maneira um pouco diferente [17].
... Acreditamos que isso causaria o nascimento de um ponte hiperbólica ligando os dois replis. Em seguida, a matéria fluiria (rapidamente, a velocidade relativística) do repli F para o repli F*, através deste caminho. Como indicado acima, este fenômeno inverte a massa, veja a seção 14, equação (110), de forma que a solução não estacionária depende do sistema: (122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T* - T )
No "meio do processo", T = T*. Então a solução obedece: (124)
S = 0
(125)
S* = 0
... Acreditamos que é o verdadeiro significado da geometria de Schwarzschild. Corresponderia a um quadro que pertence a um processo não estacionário.
... Esta solução não estacionária é apenas um projeto de solução. Ainda não foi construída. Não sabemos o que resultaria disso, nem como o processo completo se pareceria.