- Mais informações sobre imersão e geodésicas.
Todas as superfícies não podem ser imersas em R³. Por exemplo, considere a métrica (134)
onde Rs > 0 e r > 0
é definida em R módulo 2 
Expressa com essas coordenadas particulares [ r , ], esse elemento de linha é regular quase em todos os lugares (exceto no ponto r = 0). Em outros lugares, nenhum problema surge. Seu grupo isométrico é O₂. As órbitas do grupo são círculos r = constante. Poderíamos imaginar que essa superfície possa ser imersa em R³, onde então apareceria axisimétrica em torno de um eixo z.
Geodésicas ( = constante ) existem. Poderíamos pensar que elas são "linhas meridianas" da superfície e que a equação z ( ) de tal meridiano pode ser construída como fizemos no início do artigo. Ao longo das geodésicas ( = constante ) : (135)
Se essa superfície puder ser imersa em R³, ao longo dessas geodésicas : (136)
o que dá : (137)
Conclusão: essa superfície não pode ser imersa em R³.
Essa métrica (135) evoca uma ação repulsiva.
Todas as superfícies, como definidas por sua métrica, não podem ser. De qualquer forma, essas superfícies "existem", mesmo que não possamos tocá-las com as mãos. Considere a seguinte hipersuperfície 3D, definida por: (138)
com Rs > 0 e r > 0
é definida em R módulo 2
Não podemos imergir tal hipersuperfície. Mas ela existe e possui "geodésicas planas" ( 
= /2).
Podemos calcular o sistema geodésico dessas hipersuperfícies 2D e 3D. Podemos representá-las em um plano (r,). Elas são reais. (139)
Seu desenho é idêntico ao das duas superfícies anteriores, como definidas por seu elemento de linha (134). Esses dois objetos geométricos são simplesmente conexos.
Fig.25 :** Geodésicas correspondentes aos elementos de linha **(134) **e **(138)
(Observe que é semelhante a uma ação de repulsão).
Há algo perturbador. Dado um elemento de linha, podemos calcular o sistema geodésico. Por exemplo, o da representação clássica da geometria de Schwarzschild corresponde a: (140)
Podemos calcular as curvas r () correspondentes a essa equação diferencial. Elas são reais, incluindo para valores r < Rs!
**
Fig.26 : Linha geodésica completa correspondente ao elemento de linha de Schwarzschild.
**
Entendemos por que os físicos ficaram perturbados após observar esse resultado estranho. Mas há um fato matemático: um elemento de linha pode produzir um sistema geodésico real, algumas partes correspondendo a um elemento de comprimento imaginário ds.
O que acontece com a física? Identificamos ds como um incremento de tempo próprio. Acima, decidimos considerar que ds imaginário não corresponde a um caminho físico, o que nos obrigou a reexaminar a "topologia local" da hipersuperfície, mudando a "topologia esférica local" para uma "topologia hipertoroidal local".
Em trabalhos anteriores, as pessoas mantiveram a hipótese de "topologia esférica local", o que tornava problemática a interpretação física do interior da esfera de Schwarzschild. Na referência [1], na seção 6.8, lemos:
(No interior da esfera de Schwarzschild) *pareceria natural reinterpretar *r *como marcador de tempo e *t como marcador radial (...) ... *o que implicaria que *ds² < 0 ao longo dessa linha do universo.
- Extensão analítica de Kruskal.
No sistema clássico de coordenadas [x° , r , , ], a velocidade radial da luz é: (141)
de forma que ela tende a zero quando r tende a Rs. O argumento de Kruskal é o seguinte (referência [1], seção 6.8).
*Essa é uma característica indesejável das coordenadas de Schwarzschild que podemos eliminar da seguinte forma; procuramos uma transformação para *r *e *t *para novas variáveis *u *e *v nas quais o elemento de linha tenha a forma : (6.187)
**
...* chegamos a uma transformação apropriada para o interior do raio de Schwarzschild :* (6.204) *
*
Enquanto, fora dessa esfera : (6.201) *
*
A condição fundamental é que f seja regular na esfera de Schwarzschild r = Rs. Ainda a partir de [1] :
*Assim *u *serve como marcador radial global, e *v serve como marcador temporal global.
Além disso, a partir de (6.187), as geodésicas nulas (ds = 0) dão uma "velocidade da luz constante" : (142)
A partir de (6.201), vemos que quando r tende ao infinito, f tende a zero, de forma que Adler, Schiffer e Bazin dizem [1] : *
Eles, no entanto, não correspondem às coordenadas esféricas do espaço plano a distância assintótica, como fazem as coordenadas de Schwarzschild.
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- A métrica de Kruskal também é uma solução não singular das equações de Einstein nesses locais e é equivalente à solução de Schwarzschild, mas não apresenta nenhuma singularidade na fronteira* (a esfera de Schwarzschild). Trata-se de uma extensão analítica da variedade.
Kruskal se concentra no problema nessa fronteira, que se torna não singular, a singularidade estando concentrada no "centro geométrico" onde f tende ao infinito. Ainda utilizando a referência [1], reproduzimos o trecho dedicado às trajetórias radiais dos fótons para dentro:
*Em termos de *u , v a trajetória é simples; em termos de r e t , porém, vemos que ela começa em algum r > Rs e em algum x° finito, se move para dentro em direção a r = Rs enquanto x° tende ao infinito, e atravessa a linha x° = infinito *para o interior da esfera de Schwarzschild. Após isso, *r *continua a diminuir ao longo da trajetória, mas *x° *diminui. ... *Esse tratamento atual também esclarece que *x° não é um marcador razoável do tempo no interior da esfera de Schwarzschild.
Vemos que "nada é perfeito". Com sua escolha particular de coordenadas, Kruskal consegue lidar com a passagem pela esfera de Schwarzschild, confinando a característica singular da solução geométrica a uma "singularidade central". Mas a métrica não é mais lorentziana no infinito.
Isso mostra como a escolha das coordenadas modifica a interpretação da solução. A nossa introduz uma mudança na "topologia local" (ponte hipertoroidal), mas elimina todas as singularidades.
- Retorno à imersão.
O teorema de Wiener-Graustein diz que qualquer superfície n-dimensional, com n > 2, pode ser imersa em um espaço cuja dimensão mínima é (143)
Para hipersuperfícies 4D, isso corresponde a um espaço de 10 dimensões. Sabemos que as geodésicas da geometria de Schwarzschild estão em planos. = p/2 corresponde a um deles. Podemos, portanto, nos concentrar em um subconjunto das geodésicas ( = p/2). Essas geodésicas dependem de dois parâmetros l e h. Sabemos que as geodésicas ( l =1 ) correspondem a partículas cuja velocidade é nula no infinito. Além disso, escolha o subconjunto das geodésicas ( = constante ). Então : (144)
Introduza uma coordenada adicional z e escreva : (145)
ds² = dr² + dz²
(146)
Uma equação diferencial cuja solução é : (147)
Podemos representar essas geodésicas em um espaço 3D [ z , r ,]. Elas são linhas meridianas de uma superfície axisimétrica.
Fig. 27 : O meridiano da superfície na qual uma imersão isométrica das geodésicas de Schwarzschild ( = constante ) é realizada.
No espaço 3D, essa superfície parece a figura 28 (meia seção).
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Fig.28 : A superfície de imersão.
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Se traçarmos as geodésicas "radiais" sobre ela, obtemos a figura 29.
**Fig.29 : Representação das geodésicas "radiais". Fundo : sua projeção em um plano [ r , ]. **
É uma imersão muito parcial, pois está limitada ao conjunto das geodésicas "radiais". A figura 29 evoca um dobra e sugere enantiomorfia. De fato, considere um conjunto de três pontos seguindo geodésicas radiais. Obtemos
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Fig.30-a : Três pontos-massas caindo em direção ao pescoço ao longo de caminhos "radiais".
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e :
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Fig.30-b : O mesmo, após atravessar o pescoço.
O triângulo foi invertido.
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Na projeção plana [ r ,] a orientação do triângulo é invertida. Imagine agora quatro partículas-teste seguindo trajetórias radiais, caindo em direção à esfera de Schwarzschild, formando um tetraedro. Veja a figura 31.
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Fig.31 : Quatro partículas caindo na esfera de Schwarzschild ao longo de geodésicas "radiais" em um espaço 3D euclidiano.
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Fig.32 : Após "rebote" na esfera de Schwarzschild, as partículas se movem no espaço gêmeo. O tetraedro é invertido (enantiomorfia)
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Voltemos à representação anterior. O vetor normal também é invertido :
**Fig.33 : Uma geodésica particular = constante em sua representação no conjunto das geodésicas (l = 1), em um espaço ( r ,, z ). **