Cosmologia
Buraco negro questionável.
Jean-Pierre Petit
Observatório de Marselha, França
Pierre Midy
CRI Orsay, França
Para correspondência: 
________________________________________________________________
Resumo
Partindo do chamado modelo de buraco negro, considerado como uma interpretação física da geometria de Schwarzschild, reconsideramos o problema do destino de uma estrela de nêutrons quando esta ultrapassa seu limite de estabilidade. Apresentamos primeiramente uma nova ferramenta geométrica: a geometria hipertórica, através de exemplos em 2d e 3d (seção 2). Mostramos que as patologias associadas às métricas, decorrentes de seu elemento de linha expresso em um dado sistema de coordenadas, podem ser sanadas através de uma escolha mais adequada formulada em termos de "topologia local". Por exemplo, mostramos que nos dois exemplos dados, a superfície 2d e a hipersuperfície 3d, cujos grupos de isometria são O2 e O3, não são simplesmente conexas.
Estendemos o método à geometria de Schwarzschild. Mostramos que as características singulares podem ser completamente eliminadas, considerando uma hipersuperfície do espaço-tempo não simplesmente conexa. Damos à geometria de Schwarzschild um significado físico diferente: uma ponte que liga dois universos, o nosso e um universo gêmeo.
Mostramos que o "congelamento do tempo", pedra angular do modelo de buraco negro, é uma simples consequência de uma escolha arbitrária de um marcador temporal peculiar. Usando outro, inspirado no trabalho de Eddington (1924), derivamos um cenário completamente diferente, implicando um arrastamento radial do referencial (semelhante ao arrastamento azimutal do referencial da métrica de Kerr). Mostramos que a solução de Schwarzschild pode ser interpretada como uma "ponte espacial", ligando dois universos, dois espaços-tempos, funcionando como uma ponte de mão única. Mostramos que o tempo de trânsito de uma partícula de teste é finito e curto, o que imediatamente torna questionável o modelo clássico de buraco negro.
Estendendo o grupo de isometria da métrica de Schwarzschild, mostramos que os dois universos são enantiomorfos (P-simétricos) e possuem marcadores temporais opostos
(t* = - t). Usando uma ferramenta de grupos: a ação coadjunta de um grupo sobre seu espaço de momento, damos o significado físico desta "inversão temporal", através da superfície esférica da garganta, a esfera de Schwarzschild: quando uma partícula de massa positiva atravessa a ponte espacial, sua contribuição para o campo gravitacional é invertida: m* = -m (como mostrado por J.M.Souriau em 1974, a inversão do marcador temporal é equivalente às inversões de massa e energia).
Como a questão do destino de uma estrela de nêutrons desestabilizada se torna um problema ainda em aberto, apresentamos um projeto de um modelo alternativo: a transferência hiperespacial de uma parte de sua matéria, através de uma ponte espacial, essa matéria fluindo em direção ao universo gêmeo a uma velocidade relativística.
A propósito, recordamos alguns defeitos bem conhecidos do modelo de Kruskall, particularmente o fato de que ele não é assintoticamente lorentziano no infinito.
Sugerimos considerar a geometria de Schwarzschild como uma hipersuperfície imersa em um espaço de dez dimensões. Ligando o presente trabalho a outros anteriores, baseados na teoria de grupos, construímos um modelo simétrico CPT. A dualidade matéria-antimatéria vale em ambas as dobras. Quando a matéria é transferida para o Universo gêmeo, ela sofre uma simetria CPT e sua massa (sua contribuição para o campo gravitacional) é invertida. Mas ela ainda é matéria. Similarmente, a antimatéria que flui na ponte espacial permanece antimatéria, com massa oposta, pois a inversão do marcador temporal, como mostrado por Souriau, implica a inversão da massa.
________________________________________________________________
- O modelo de buraco negro.
As estrelas de nêutrons não podem exceder uma massa crítica, próxima de 2,5 massas solares. Para massas maiores, seu material não pode mais suportar a enorme pressão interna devida à força gravitacional. Então ocorre o colapso gravitacional. Por muito tempo, os teóricos tentaram descrever o destino de tal objeto. Olhando para a métrica de Schwarzschild, aqui expressa em termos de
coordenadas, onde Rs é o chamado raio de Schwarzschild
(1)
as pessoas imaginaram que esta solução da equação de Einstein:
(2)
S = 0
com segundo membro nulo poderia resolver o problema. Com efeito, se t é escolhido como "o tempo cósmico de um observador externo", o tempo de queda livre de uma partícula de teste, seguindo uma "geodésica radial", a partir de qualquer ponto distante da esfera de Schwarzschild r = Rs é considerado infinito, enquanto este tempo de queda livre Ds, expresso em tempo próprio, permanece finito. Então a "descrição física" é a seguinte:
-
O objeto (uma estrela de nêutrons que ultrapassa seu limite de estabilidade) sofre um colapso gravitacional. Sua massa cai rapidamente em direção ao "centro geométrico do sistema", descrito como uma "singularidade central". Este fenômeno se estende por uma duração finita Ds, em termos de tempo próprio s.
-
Mas, para um "observador externo", localizado a alguma distância do objeto, este processo parece "congelado no tempo". Além disso, a esfera de Schwarzschild é uma superfície de desvio para o vermelho infinito (devido à nulidade do termo gtt da métrica em r = Rs).
Este é o modelo de um buraco negro com simetria esférica.
r é identificado a uma "distância radial", o que significa que se pode pensar sobre "o que está dentro da esfera de Schwarzschild". Grosso modo, isso significa que se assume que a "topologia local" é "esférica": dentro da esfera de Schwarzschild, supõe-se que esteja localizada uma "esfera menor", e assim por diante, até o "centro geométrico" do objeto.
Mais tarde, o modelo foi estendido para uma geometria com simetria axial (métrica de Kerr). Mas esta extensão não traz nenhuma mudança conceitual fundamental. É por isso que vamos nos concentrar a seguir em um sistema com simetria esférica (pensamos que este estudo poderia ser posteriormente estendido à métrica de Kerr).
É um pouco estranho que um objeto tão denso possa ser descrito através de uma solução das equações (2), que a priori se refere a uma porção vazia do Universo onde não há matéria-energia.
Se mantivermos a
descrição (uma escolha peculiar de coordenadas), muitas dificuldades surgem. Por exemplo, quando r tende a Rs, o termo grr tende ao infinito.
A assinatura da métrica, expressa com esta escolha peculiar de coordenadas, é:
( + - - - ) para r > Rs
( - + - - ) para r < Rs
Quando uma partícula de teste penetra dentro da esfera de Schwarzschild, sua massa se torna imaginária e sua velocidade maior que a velocidade da luz: ela se torna um táquion.
Considerando a mudança de assinatura, algumas pessoas disseram:
- Sem problema: dentro da esfera de Schwarzschild, r simplesmente se torna o tempo e t a distância radial.
Um cosmólogo francês, Jean Heidmann, costumava dizer: "quando pensamos em buracos negros, temos que abandonar todo o bom senso".
A propósito, há muito poucos candidatos a buraco negro, o que é o ponto mais intrigante. Com efeito, supernovas, anãs brancas e estrelas de nêutrons foram previstas antes de serem observadas. Por exemplo, Fritz Zwicky apresentou o modelo de supernova, em uma famosa palestra proferida no Caltech em 1931, antes que qualquer uma fosse observada. Mas, ano após ano, o modelo foi confirmado e agora conhecemos centenas delas. A mesma coisa para estrelas de nêutrons em rotação, identificadas como pulsares. Por que tão poucos buracos negros observados?
De qualquer forma, os astrofísicos acreditam que os buracos negros existem, mesmo que haja tão poucos dados observacionais sobre eles. Eles "usam" modelos de "buracos negros gigantes", supostamente localizados no centro de galáxias ou aglomerados de galáxias, para "explicar" algumas de suas características dinâmicas intrigantes.
A seguir, gostaríamos de sugerir um destino diferente para as estrelas de nêutrons que ultrapassam seu limite de estabilidade. Comecemos por introduzir novas ferramentas geométricas.
- Geometria hipertórica.
Considere a seguinte métrica riemanniana g, em duas dimensões, cujo elemento de linha, escrito com um conjunto de duas coordenadas [ r , j ] é:
(3)
onde:
é definido em R, módulo 2 
.
Rs é uma constante.
Esta métrica se torna assintoticamente euclidiana quando r tende ao infinito:
(4)
Neste sistema peculiar de coordenadas
a assinatura é:
( + , + ) para r > Rs
( - , + ) para r < Rs
O determinante:
(5)
se torna infinito para r = Rs. Mostremos que isso se deve a esta escolha peculiar de coordenadas. Introduza a seguinte mudança de coordenada:
(6)
O elemento de linha se torna
(7)
cujo determinante associado é:
(8)
Ele não mais se anula para todos os valores de 
(o que, a propósito, mostra que, em uma métrica, a nulidade do determinante do elemento de linha depende da escolha do sistema de coordenadas, como evidenciado por Eddington em 1924 (ref.[10]) para a métrica de Schwarzschild). Quando tende a zero (o que corresponde a
este determinante tende a:
varia de - infinito a + infinito, o que é equivalente a r ³ Rs
A métrica g, qualquer que seja o sistema de coordenadas escolhido, descreve uma superfície, um objeto bidimensional. Este último possui seu próprio sistema geodésico, basicamente invariante por coordenadas. Estudemos este sistema em um sistema de coordenadas
através do sistema de equações de Lagrange. Introduza a seguinte função F:
(9)
As equações de Lagrange correspondentes são:
(10)
(11)
A equação (11) dá:
(12)
h sendo positivo, negativo ou zero. Além disso, se em (3) dividirmos os dois membros por , obtemos, classicamente:
(13)
do qual podemos derivar a equação diferencial que descreve as geodésicas planas, no sistema de coordenadas
:
(14)
A condição IhI £ r, de acordo com (12), significa que o valor absoluto do cosseno do ângulo entre a tangente à geodésica e o vetor radial é £ 1.
Agora vamos imergir a superfície em R3, adicionando uma coordenada de imersão adicional z. Escolhemos coordenadas cilíndricas
A superfície é axisimétrica em relação ao eixo z.
As geodésicas ( = constante ) são as linhas meridianas desta superfície, onde:
(15)
o que imediatamente dá a equação da curva meridiana desta superfície, como imersa em R3. É a parábola:
(16)
A Figura 1 mostra uma visão 3d desta superfície, como imersa em R3, mais uma geodésica e sua projeção em um plano com
coordenadas polares.
Esta superfície não é simplesmente conexa. Entre as órbitas do grupo de isometria O2 encontramos um círculo de perímetro mínimo: o círculo da garganta (p = 2 Rs).
Fig. 1: A superfície, como imersa em R3
e sua representação em um
sistema de coordenadas.
Na figura 2, várias geodésicas são mostradas, neste
sistema de representação.
Fig. 2: representação de algumas geodésicas.
Fig 3: Uma geodésica peculiar, cruzando o círculo da garganta.
Observe que esta representação de geodésicas em um plano
não é isométrica. Se medirmos o comprimento neste plano, ele não corresponde ao comprimento medido na superfície.
Se impusermos que o comprimento dS seja real, vemos que isso determina o que poderíamos chamar de topologia local. Chamemos tal estrutura geométrica de ponte toroidal. Podemos também dizer que esta superfície possui uma topologia toroidal local. Ela possui uma única dobra, que pode ser considerada como um conjunto de duas meias-dobras limitadas, as duas sendo coladas ao longo de suas bordas circulares ao longo do círculo da garganta, cujo perímetro é 2 Rs. Estes círculos não são linhas geodésicas (exceto esta geodésica muito peculiar que é o círculo da garganta, o único fechado). Em cada meia-dobra, quando a distância em relação à "ponte toroidal" tende ao infinito, a métrica tende à euclidiana (2). Na figura 2, correspondente a uma representação [ r , ], as porções superiores das geodésicas que cruzam o círculo da garganta foram figuradas como linhas contínuas, enquanto as porções correspondentes à outra meia-dobra foram figuradas como linhas pontilhadas. Observe que uma meia-dobra corresponde a ( ) , donde a outra corresponde a (
) . O círculo da garganta corresponde a
= 0 .