- Geodésicas em uma representação [r,j].
Introduzindo (6) em (14), com dr = thr dr
obtemos:
(17)
o que dá a representação [r, j] das geodésicas. Quando r tende a zero, dj/dr tende a um valor finito, de modo que a tangente do ângulo de passo:
(18)
tende a zero na origem. A imagem do círculo da garganta de Schwarzschild, em tal representação, é um ponto cônico.
Fig.4: A geodésica mostrada na figura 3, em um sistema de coordenadas (r, j).
A travessia do círculo da garganta corresponde ao ponto O
Esta é uma representação isométrica das geodésicas.
Observe que também podemos representar a superfície em uma representação [z, r, j], mas esta já não é isométrica. Obtemos o meridiano associado:
(19)
Quando r tende a zero, z(r) é linear. Quando tende ao infinito, a função tende a uma parábola.
Fig. 5: Meridiano da superfície, em uma representação [r, j]
não isométrica da superfície.
A imagem do círculo da garganta de Schwarzschild, em tal representação, é um ponto cônico.
- Extensão a uma hipersuperfície 3d com simetria esférica.
Isto pode ser estendido a uma hipersuperfície 3d, conforme descrito pelo elemento de linha:
(20)
Esta métrica refere-se a uma hipersuperfície 3d, aqui expressa em um sistema de coordenadas [r, q, j]. A variável r não é uma "distância radial", correspondente a "coordenadas esféricas". Reencontramos patologias semelhantes neste novo elemento de linha, que podem ser eliminadas introduzindo a mesma mudança de coordenadas (6).
[r, q, j] � [r, q, j]
Então este elemento de linha torna-se:
(21)
Sua assinatura torna-se (+, +, +) e seu determinante:
(22)
já não se anula.
As geodésicas desta hipersuperfície situam-se em planos. q = p/2 é um deles. Em sua representação [r, j] identificam-se com as da figura 2. O grupo de isometria é O3 e as órbitas correspondentes são esferas. Entre estas, uma possui área mínima (a esfera da garganta de tal ponte toroidal 3d). Os grandes círculos das esferas-órbitas não são curvas geodésicas, exceto as peculiares situadas na esfera da garganta cujo perímetro é 2 p Rs. As geodésicas desta esfera peculiar são as únicas fechadas. Podemos chamar esta geometria peculiar de geometria hipertoroidal. Esta superfície 3d não é simplesmente conexa. Possui uma única dobra 3d, que pode ser considerada um conjunto de duas meias-dobras 3d limitadas, coladas ao longo de sua borda esférica (a esfera da garganta). A grande distância desta "ponte hipertoroidal" a métrica tende à euclidiana, doravante escrita em coordenadas esféricas:
(23)
ds2 = dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2)
- Geometria de Schwarzschild.
Classicamente considera-se que seu grupo de isometria é SO3 X R, onde R se refere a translações unidimensionais. Então se costuma dizer que esta métrica é independente do tempo e com simetria esférica, considerando que R corresponde a translações temporais.
Expresso em um sistema de coordenadas [x�, r, q, j], onde x� é o marcador temporal, o elemento de linha é
(24)
Classicamente, escreve-se x� = ct, o que se supõe definir o tempo cósmico t de "um observador externo". Quando r >> Rs (21) tende à métrica de Minkowski. Classicamente r é assimilado a uma coordenada radial. (21) mostra uma irregularidade do termo grr e uma mudança de assinatura quando r = Rs.
Mais uma vez podemos regularizar esta métrica, usando a mudança de coordenadas (6), passando a um sistema [t, r, q, j].
Então o elemento de linha torna-se:
(25)
As órbitas do grupo de isometria O3 são esferas. Entre este conjunto, uma, a esfera da garganta (esfera de Schwarzschild) possui área mínima. A hipersuperfície não é simplesmente conexa. Forma uma única dobra do espaço-tempo, que pode ser considerada um conjunto de duas meias-dobras 4d do espaço-tempo (dobras gêmeas), a primeira correspondendo a r > 0 e a segunda a r < 0, donde a esfera da garganta corresponde a r = 0. Podemos calcular as geodésicas, situadas no plano q = p/2. Seguindo: "coordenadas esféricas":
Fig.6: Coordenadas esféricas.
o elemento é dr2 = r2 (dq2 + sin2q dj2)
Os círculos j = constante são geodésicas da esfera mas, obviamente, não representam todas as geodésicas da superfície. Apenas as que passam por dois pontos antípodas (polos).
Os círculos q = constante não são geodésicas, exceto o que corresponde a q = p/2 (equador).
Em um sistema de coordenadas [r � Rs, j] estas geodésicas (de comprimento não nulo) correspondem a:
(26)
A escolha do conjunto de constantes [l, h] determina a geodésica. Entre elas encontramos geodésicas do tipo hipérbole, que não intersectam a esfera da garganta r = Rs. Ver figura 7.
Figura 7: Geometria de Schwarzschild. Representação [r, j] de geodésica plana do tipo hipérbole
que não corta a esfera da garganta r = Rs
Encontramos também geodésicas quase-elípticas. Ver figura 8
Fig. 8: Geometria de Schwarzschild. Representação [r, j]
de geodésicas quase-elípticas.
Agora foquemos nas geodésicas que intersectam a esfera da garganta r = Rs. Em uma representação [r, j], chamemos a o ângulo entre a tangente à geodésica e o vetor radial.
(27)
A primeira equação de Lagrange dá:
(28)
Para valores r � Rs o parâmetro l é estritamente positivo.
Outra equação de Lagrange é:
(29)
e dá uma evolução monotônica do ângulo j em relação ao tempo próprio s. Neste plano (q = p/2) o giro depende do sinal de h.
De acordo com esta nova interpretação da geometria de Schwarzschild (considerada como uma hipersuperfície não simplesmente conexa) podemos representar a geodésica em uma representação [r, j] como mostrado na figura 9.
Figura 9a: Representação [r, j] de uma geodésica que intersecta a esfera da garganta (esfera de Schwarzschild) correspondendo a h � Rs
Uma porção da geodésica foi representada como linha pontilhada, pois se supõe pertencer à segunda meia-dobra 3d, ligada à primeira ao longo da esfera da garganta, a de Schwarzschild. Sugere uma quebra. Mas esta última deve-se a este peculiar sistema de representação [r, j], que é mais familiar à nossa (pobre) intuição geométrica humana. Em um espaço de representação 3d obtemos a figura 9b. As partículas são como que "ricocheteando" na esfera de Schwarzschild.
Fig.9b: No espaço de representação euclidiano 3d as partículas
são como que ricocheteando na esfera de Schwarzschild.
Deste ponto de vista, "não há nada dentro da esfera de Schwarzschild", pois, neste "interior" estamos simplesmente "fora da hipersuperfície".
Lembre-se que a esfera da garganta, a esfera de Schwarzschild corresponde ao valor r = 0. A primeira meia-dobra corresponde a (r > 0) e a segunda a (r < 0).
Em uma representação [r, j], o aspecto da geodésica torna-se bastante diferente. Calculemos a tangente do ângulo b, entre a geodésica e o vetor raio (ver figura 6).
(30)
Quando r tende a � 0 thr � r, donde:
(31)
Na representação [r, j] as geodésicas que vão de uma meia-dobra à outra são tangentes ao vetor radial. Já não há descontinuidade angular na origem, sendo esta última a imagem do círculo da garganta (r = 0). Para obter uma descrição completa destas geodésicas devemos retornar ao elemento de linha, tal como expresso no sistema de coordenadas [t = x�/c, r, q, j] (24), usando o sistema de equações de Lagrange, com:
(32)
Entre estas equações, encontramos:
(33)
Para um dado valor de h a evolução de j é monotônica, em relação ao tempo próprio s.
Fig. 10: Representação [r, j] de uma geodésica que passa
de uma meia-dobra (r > 0) para a outra (r < 0).
Como antes, a porção da geodésica que pertence à segunda meia-dobra 3d foi representada como linha pontilhada.
Não podemos dar uma imersão da hipersuperfície 4d, como fizemos no início do artigo para uma superfície 2d. A propósito, lidamos com geodésicas 4d, não 3d. Os espaços [r, q, j] e [r, q, j] não são mais que espaços de representação, que se supõe tornarem as coisas um pouco mais claras. As geodésicas reais estão inscritas em um espaço 4d. De qualquer forma, a representação [r, q, j] sugere alguma "ponte hipertoroidal" 3d, donde a representação [r, q, j] sugere algum "hipercone" 3d. Nesta segunda representação (3d) de tal superfície 2d há geodésicas que vão de uma meia-dobra à outra, passando pelo ponto (r = 0). Isto é semelhante a um cone 2d. Ver figura 11
Fig. 11: Geodésica de um cone. À direita:
uma superfície possuindo um ponto cônico.