- A escolha de um marcador temporal.
Nas coordenadas [ t , r , q , j ], correspondentes ao elemento de linha (25), o determinante da métrica é:
(34)
que se anula quando r se torna zero. De qualquer forma, em 1924, Eddington [10] mostrou que a nulidade da métrica dependia das coordenadas. Vamos primeiro retornar à forma inicial
(35)
Insistamos no fato de que a escolha do sistema de coordenadas é puramente arbitrária, pois a métrica, solução da equação em forma tensorial
(36)
S
= 0
é basicamente invariante por coordenadas. Decidimos que as partículas seguem geodésicas. As coordenadas escolhidas arbitrariamente trazem o significado físico desta solução geométrica. Podemos escolher x⁰ = ct, sendo c uma constante. Mas podemos escolher outro referencial. Depende de nós. O único requisito, para um marcador cronológico escolhido x⁰, ou t , x , é que a métrica seja assintoticamente euclidiana:
(37)
ou:
(38)
como expresso em sistema de coordenadas cartesianas. Lembre-se de que uma métrica riemanniana é euclidiana se for possível encontrar um sistema de coordenadas onde a forma quadrática do elemento de linha tenha coeficientes constantes. O conjunto dos sinais é a assinatura.
Se esta última for ( + - - - ), trata-se de uma métrica de Minkowski.
(39)
sendo identificado a uma distância elementar, parece uma exigência razoável impor que a métrica seja assintoticamente euclidiana "a grandes distâncias", qualquer que seja a definição escolhida para tal distância ( r ou r , de acima).
A definição do "tempo cósmico" ou "marcador espacial" permanece uma escolha completamente livre. Inversamente, não podemos modificar o tempo próprio s, ou, mais precisamente, o intervalo de tempo Ds entre dois pontos dados da variedade, pois ele é basicamente independente das coordenadas. Além disso, supõe-se que as partículas possam viajar em ambas as direções ao longo de uma dada geodésica.
Fig. 12 : A viagem de uma partícula em uma dada geodésica.
A viagem de uma partícula de teste ao longo de uma geodésica é um fenômeno. Outra geodésica da variedade é suposta referir-se a algum "observador externo em repouso". Mas o estado de repouso depende da escolha das coordenadas (x⁰, x1 , x2 , x3), que é completamente arbitrária.
Este "observador externo" é suposto estar localizado em uma porção da variedade onde a métrica é euclidiana, ou quase euclidiana, ou seja, tem a forma (37). Então, as condições de repouso significam que
(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Para tal observador em estado de repouso, qualquer intervalo de tempo próprio identifica-se com o "intervalo de tempo cósmico" arbitrariamente escolhido associado:
(41)
Ds
= Dx⁰
...A escolha do tempo cósmico sendo puramente arbitrária, a evolução da partícula de teste no tempo depende desta escolha. Considere dois pontos A e B, em uma dada geodésica, que se supõe referir-se a um observador externo. Estes pontos são eventos espaço-temporais. Na figura 13, as linhas pontilhadas supõem-se referir-se a um tempo cósmico constante x⁰.
Fig. 13 : Um "observador externo em repouso", "considerando" a evolução
de uma partícula de teste em uma geodésica. Tempo cósmico x⁰
Considere agora outra escolha x para o tempo cósmico. Veja a figura 14.
Fig. 14 : Um "observador externo em repouso", "considerando" a evolução
de uma partícula de teste em uma geodésica. Tempo cósmico x
Precisemos que as linhas pontilhadas não são caminhos de fótons. Os fótons viajam em geodésicas nulas peculiares, que são invariantes por coordenadas.
Ainda temos Ds(O) = Dx⁰ = Dx, mas os intervalos Ds'(TP) e Ds"(TP) podem ser bastante diferentes, embora se refiram à mesma geodésica, pois os pares (A',B') e (A",B") podem diferir. Basicamente, eles dependem da coordenada temporal escolhida, ou "marcador temporal".
- A mudança de coordenada temporal de Eddington e sua forma estendida.
A seguinte mudança de coordenadas, introduzida por Eddington em 1924, uma ilustração desse ponto, é:
(42)
Então, o elemento de linha torna-se
(43)
Como o termo gxx torna-se zero na esfera r = Rs, esta última é uma superfície de desvio para o vermelho infinito (como no elemento de linha da métrica de Schwarzschild clássica). A matriz torna-se:
(44)
cujo determinante é:
(45)
- r 4
sin2 q
e não se anula mais, qualquer que seja o valor de r. Por razões que serão explicadas mais tarde, vamos estender esta mudança de coordenadas para:
(46)
Expresso no sistema de coordenadas ( x , r , q , j ), o elemento de linha torna-se:
(47)
cujo determinante tem a mesma forma (44). Observe que a mudança de coordenadas de Eddington corresponde ao valor d = - 1.
Estudamos as geodésicas, usando as equações de Lagrange, baseadas na função:
(48)
com:
Além disso, a partir da expressão do elemento de linha, temos, classicamente, para partículas materiais (ds ≠ 0):
(49)
Uma equação de Lagrange dá:
(50)
Considere a geodésica plana q = p/2, que dá:
(51)
Ao longo de uma geodésica, em relação ao tempo próprio s, a evolução de j é monótona. Outra equação de Lagrange dá:
(52)
isto é:
(53)
Combinando com (49), surpreendentemente, d desaparece:
(54)
Observe que se dr = 0 (velocidade nula) quando r tende ao infinito, isso corresponde a l = 1. Quando r tende ao infinito, após (53):
(55)
Se l ≠ 1, quando r tende ao infinito, obtemos:
(56)
com
obtemos
(57)
Em [ r , j ] reencontramos, para geodésicas não nulas (ds ≠ 0), a expressão diferencial da forma clássica:
(58)
que fornece os padrões das figuras 7, 8 e 9. Agora podemos definir um novo tempo cósmico, através de:
(59)
x = ct
...O elemento de linha (43) ainda é assintoticamente euclidiano. A "grandes distâncias", o tempo próprio Ds de um observador em repouso identifica-se com o intervalo Dt.
- Intervalos de tempo para trajetórias radiais.
Podemos calcular o intervalo de tempo Dt = Dx/c de uma partícula de massa não nula, seguindo uma geodésica, através da equação diferencial:
(60)
Para "geodésicas radiais" ( h = 0 ):
(61)
Perto da esfera de Schwarzschild, obtemos:
(62)
l = 1 corresponde a uma partícula de teste cuja velocidade tende a zero no infinito.
Considere esse caso peculiar:
(63)
De (54)
n = - 1 corresponde a trajetórias (dr < 0).
n = +1 corresponde a trajetórias (dr > 0).
...Observe que a mudança peculiar de coordenadas de Eddington corresponde (para r ≠ Rs) a d = + 1. Quando calculamos o tempo de viagem radial Dt de uma partícula de teste, em relação a este novo tempo cósmico, descobrimos que este último depende da direção deste movimento e do sinal de d, ou seja, do produto dn. Quando é positivo, o tempo de viagem de uma partícula de teste, ao longo de uma geodésica radial (r ≠ Rs) é finito. Quando é negativo, este tempo de viagem torna-se infinito.
...Como primeira consequência, se aplicado ao modelo de buraco negro com simetria esférica, a mudança de coordenadas de Eddington fornece um tempo de queda livre Dt finito. Quando r = Rs, a velocidade da partícula torna-se:
(64)
Uma partícula de teste, caindo em direção à esfera de Schwarzschild, atinge-a na velocidade c.
- Velocidade da luz.
Os fótons viajam em geodésicas nulas, correspondentes a:
(65)
Considere a velocidade:
(66)
De (65) obtemos:
(67)
Quando r tende ao infinito, vj tende a ± c .
Quando dr < 0, temos n < 1 . Então, quando r = Rs para trajetórias (d r< 0):
(68)
Quando uma partícula de teste cai em direção à esfera de Schwarzschild, ao longo de trajetórias radiais, ela a atinge na velocidade da luz.
Para resumir:
(69)
(70)
A velocidade da luz é diferente, considerando trajetórias (dr > 0) ou (d r< 0).
- O efeito de arrasto de referencial.
Considere a métrica de Kerr:
(71)
onde r é uma coordenada espacial diferente daquela definida acima. Apenas reproduzimos a equação 7.110 da referência [1].
Calcule a velocidade do fóton (ds = 0) para movimentos que são tangentes a círculos (q = p/2, r = constante). Encontramos:
(72)
isto é, dois valores distintos. Isso corresponde a um arrasto de referencial azimutal e é uma propriedade da métrica de Kerr. Da referência [1], 7.7, "A solução de Kerr e a rotação" lemos:
Um efeito físico muito interessante resulta da natureza rotacional da solução de Kerr; um corpo em movimento geodésico experimenta uma força proporcional ao parâmetro a, reminiscente de uma força de Coriolis. De forma vaga, podemos pensar na fonte rotativa como "arrastando" o espaço consigo. Em um sentido machiano, a fonte "compete" com as condições de fronteira lorentzianas no infinito no estabelecimento de um referencial inercial local.
Reformulado em termos das coordenadas de Eddington, o buraco negro, considerado como a fonte do campo, induz um arrasto de referencial radial.
- Buraco negro e fonte branca.
Na seção 4, sugerimos uma nova interpretação da geometria de Schwarzschild onde a esfera de Schwarzschild, veja a figura 9, comporta-se como uma esfera de garganta, ligando duas "dobras de meio espaço-tempo". Podemos imaginar uma estrutura semelhante, combinando as duas seguintes geometrias de Schwarzschild:
(73)
(74)
Estas duas derivam de (43), o primeiro elemento de linha (73) correspondendo a d = -1 e o segundo (74) a d = +1 . A ligação não apresenta dificuldade, pois d não aparece no cálculo da representação [ r, j ] das geodésicas. Veja a equação (58). Obtemos um par "buraco negro-fonte branca", sem "singularidade central". A matéria pode entrar no buraco negro, mas não sair. Do outro lado, a matéria pode fluir para fora da fonte branca, mas não entrar. O tempo de trânsito é finito em uma direção e infinito ao longo da outra. Calculado com o novo tempo cósmico x, o tempo de trânsito finito é semelhante ao calculado com o tempo próprio s. Para trajetórias radiais:
(75)
Este tempo é muito curto. Como foi mostrado neste artigo, o modelo de buraco negro baseia-se em uma escolha peculiar das coordenadas, e especialmente do tempo cósmico. Como apontado na seção 6, a escolha do marcador temporal é puramente arbitrária. A clássica fornece um sistema quase estacionário, onde a queda da matéria, despejada no buraco negro, fica "congelada no tempo", em relação a um observador externo. Mas o presente artigo mostra que outra escolha do marcador temporal, derivada da ideia de Eddington, "descongela" o processo. Deste ponto de vista, buracos negros, ou pares buraco negro-fonte branca, não podem existir como objetos permanentes, pois podem engolir dezenas de massas solares por milissegundo. Portanto, ainda há uma questão em aberto:
- O que acontece quando uma estrela de nêutrons supera seu limite de estabilidade?
- Espaço de representação.
Antes de tentar apresentar um projeto alternativo de modelo, poucas palavras sobre o que poderíamos chamar de "espaços de representação". No início do artigo, estudamos uma superfície 2d, conforme definida por seu elemento de linha. Pareceu possível embutir esta superfície em R3, o que nos deu uma representação isométrica deste objeto geométrico. A propósito, mencionamos uma representação [r,j].
Não é possível dar uma representação evidente de uma hipersuperfície de quatro dimensões, pois não podemos desenhá-la e mostrar figuras. Mas a hipersuperfície pode ser figurada em muitos espaços de representação, correspondentes a várias escolhas de coordenadas, pois o objeto é basicamente invariante por coordenadas. Podemos, por exemplo, introduzir a mudança (6). Então, o elemento de linha torna-se:
(76)
para r > 0
e:
(77)
para r < 0.
Geodésicas "radiais" (Por exemplo q = p/2 , dj = 0 ) focam no centro geométrico O do sistema (nesta representação peculiar). Este ponto é comparável a um "ponto hiperônico".
Uma simetria com respeito a um ponto, em um espaço 3d, é uma simetria P.
Neste [ t , r , q , j ] o elemento de linha de Schwarzschild é P-simétrico. É também independente do tempo (invariante sob translação temporal, ou seja, corresponde a um estado estacionário) e T-simétrico, invariante sob:
t → - t