- Grupos de isometria.
Chame a de matriz de rotação 3D. Escreva:
(78)
O elemento do grupo SO3 x R pode ser representado pela matriz:
(79)
que é o produto de duas matrizes. A primeira:
(80)
pertence a SO3.
e a segunda:
(81)
pertence ao grupo R de translação temporal. Introduza as simetrias P e T. Obtemos um grupo de quatro componentes, cujo elemento é:
(82)
É o produto de duas matrizes:
(83)
e:
(84)
Chamemos este segundo subgrupo de E1 (grupo de Euclides unidimensional).
Na representação [ t , r , q , j ] o grupo de isometria é O3 x E1
Voltemos à expressão do elemento de linha no sistema de coordenadas [t , r ,q, j]:
(85)
...Classicamente, considera-se que o grupo de isometria associado é SO3 x R , que não é o maior. É O3 x E1, pois o elemento de linha também é invariante sob inversões espaciais e temporais.
Agora, considere o elemento de linha expresso na forma "Eddington estendida"
(86)
que escrevemos:
(87)
Introduzindo coordenadas espaciais cartesianas [ x1, x2, x3]:
(88)
(89)
(90)
Então o elemento de linha pode ser expresso em termos das coordenadas [x ,x1,x2,x3].
(91)
Agora buscamos o grupo isométrico da métrica, tal como expressa neste sistema de coordenadas peculiar.
Primeiro temos a simetria P.
O elemento de linha é invariante sob:
(92)
x1 �
- x1
x2 �
- x2
x3 �
- x3
É também invariante pela mudança:
(93)
x �
- x
d �
- d
E por translações temporais: x = x + e. Corresponde ao seguinte grupo de quatro componentes:
Seu elemento é o produto de duas matrizes. O primeiro conjunto
(94)
corresponde a O3 e o segundo forma um segundo subgrupo cujo elemento é:
(95)
Chame este segundo subgrupo de " TF ".
Então o grupo de isometria de (86) é:
O3 x TF
Considere agora a métrica de Schwarzschild expressa no sistema de coordenadas [t = x/c , r , q , j ]. Podemos agrupar as duas expressões (76) e (77) em:
(96)
Lembre que d = -1 toma conta do semi-espaço-tempo r > 0 enquanto d = +1 toma conta do segundo semi-espaço-tempo r < 0 , se considerarmos que o "buraco negro" está localizado em nossa dobra, e a "fonte branca" na "dobra gêmea".
Se a situação for invertida, isto é, se o "buraco negro" estiver localizado na dobra gêmea, e a "fonte branca" na nossa, obtemos:
d = +1 toma conta do semi-espaço-tempo r > 0
d = -1 toma conta do semi-espaço-tempo r < 0
Considere o primeiro caso (o "buraco negro" está em nosso universo e a "fonte branca" está na dobra gêmea). Aí, a métrica é:
(97)
Mudando:
r �
-r
t �
-t
d � -d
obtemos a segunda métrica:
(98)
Note que a nulidade do determinante quando r = 0 corresponderia à inversão local do espaço (enantiomorfia) e da coordenada temporal no ponto ( r = 0 ). Com efeito, precisamos de um determinante não nulo para definir coordenadas gaussianas. Ver referência [1] 2.4
Se o determinante for não nulo, torna possível definir uma série de hipersuperfícies ( x� ou x, ou t = constante) (correspondendo a um valor constante do marcador cronológico escolhido), ortogonais às linhas de coordenadas geodésicas x� ou x ou t ("linhas de mundo" para "pontos estacionários").
Fig.15 : Segundo a fig. 2.1 da referência
[1]
Poderíamos expressar (97) e (98) em coordenadas cartesianas, como antes, e reencontrar (92) e (93). O grupo de isometria de (96) torna-se:
(99)
As duas dobras de semi-espaço-tempo são PT-simétricas.
Lembre que Andrei Sakharov foi o primeiro, em 1967 (referências [26] a [30]) a sugerir que um Universo poderia ser composto por dois Universos gêmeos, o nosso e um gêmeo, com "tempos opostos". Mais tarde ele sugeriu que a dobra gêmea poderia ser enantiomórfica.
- O significado físico da inversão do tempo cósmico t.
Esta inversão temporal é intrigante. Significa que o marcador temporal t é invertido quando se segue uma geodésica, de uma dobra para a gêmea. Significa que o relógio de um "passageiro", passando por esta ponte hipertórica, seria revertido?
Acima, dissemos que um par "buraco negro - fonte branca" poderia existir, onde o "buraco negro" estaria localizado na dobra gêmea e a "fonte branca" na outra. Isso significaria que este "passageiro de teste" poderia mergulhar na primeira ponte hipertórica e sair da segunda. Poderia ele voltar ao seu ponto de partida espacial e "matar seu pai"?
Fig.16 : Uma viagem paradoxal (esquemática).
A resposta é não, pois o sinal do incremento elementar ds de seu tempo próprio não muda, ao longo da geodésica que ele segue. Então, qual é o significado físico de t ? Nenhum. É apenas uma coordenada.
Apenas o tempo próprio tem significado físico.
Então, qual é a consequência da inversão desta coordenada temporal?
Devemos estudar a ação coadjunta do grupo sobre seu momento espacial (referências [11] e [12]). O elemento do grupo é
(100)
Este é um grupo de duas componentes ( m = � 1 ), cuja dimensão é 4.
A matriz inversa é:
(101)
Calcule o elemento da álgebra de Lie. Escreva:
(102)
da = w
d e = e
Calculemos: dg' = g-1 x dg x g
(103)
(104)
A fim de calcular a ação coadjunta (ver ref. [11] ), introduza o escalar:
(105)
cuja invariância é garantida se:
(106)
isto é:
(107)
A identificação fornece a ação coadjunta do grupo sobre seu momento de quatro componentes:
(108)
( l , m )
Lembre que o número de componentes do momento é igual à dimensão do grupo.
(109)
(110)
m' = m m
Podemos identificar m com a massa (ou com a energia E = mc2, indiferentemente).(110) significa que quando uma partícula passa pela "esfera garganta" sua massa é invertida (m' = -m). Isso não é surpreendente e dá o significado muito físico desta "inversão da coordenada temporal".
... Seguindo J.M.Souriau [12] podemos chamar a componente (m = +1) do grupo de "ortócrona", e (m = -1) de "componente anticrônica". Os elementos da componente anticrônica invertem a massa. A simetria temporal é equivalente à m-simetria, como mostrado por J.M.Souriau ( [12] p.197, capítulo inversões de tempo e espaço).
- Equações de campo acopladas subsequentes.
Partimos de uma única equação de campo com segundo membro nulo:
(111)
S = 0
que foi suposta vir de uma equação (de Einstein) completa:
(112)
S = c T
aplicando-se ao vácuo (T=0). Podemos assumir que a geometria completa pode ser descrita por duas "métricas conjugadas" g e g*, a partir das quais podemos construir dois tensores geométricos de Einstein S e S*. Ver referências [13] a [15].
Se os dois semi-espaços-tempo são vazios, o conjunto ( g , g*) é solução do sistema:
(113)
S = 0
(114)
S* = 0
(Uma solução exata estacionária do sistema (113) e (114) é dada na referência [16]). Agora podemos preencher a primeira dobra espaço-tempo por massa positiva (energia e pressão positivas) correspondendo a um campo tensorial T e a segunda por massa negativa (energia negativa) e assumimos que o campo depende de ambos os campos tensoriais, através do seguinte formalismo:
(115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T*- T )
que corresponde a geometrias conjugadas:
(117)
S* = - S
Note que isso definitivamente não significa que g* = - g !
Os tensores T e T* podem ser representados com densidades de massa r e r* e pressões p e p*.
Aqui consideramos que r, r*, p e p* são todos positivos, a fim de mostrar que "este é o mesmo tipo de matéria". O sinal de menos indica que a "matéria gêmea" se comporta como matéria de massa negativa (e energia e pressão negativas). Este sistema de equações de campo foi apresentado e estudado em artigos anteriores (referências [13] a [15]).
- Um projeto: o modelo de transferência pelo hiperespaço.
Em artigos referenciados, soluções acopladas estacionárias [16] e soluções uniformes não estacionárias ([14], [15] e [17]) foram apresentadas. Pretendemos construir soluções não estacionárias e não uniformes do sistema (115) mais (116). Por exemplo, considere condições iniciais onde matéria está presente em nossa dobra espaço-tempo F, a segunda, F*, estando vazia. O sistema correspondente seria:
(118)
S = c T
(119)
S* = - c T
...Uma solução estacionária de tal sistema foi apresentada em um artigo anterior [16]. Em tais condições a matéria está presente apenas na dobra F. Pode descrever as geometrias conjugadas correspondentes à presença de uma estrela de nêutrons nesta dobra, a nossa, a porção adjacente da segunda (gêmea) F* estando vazia. Inicialmente, as duas dobras não estão conectadas. A solução, fora da estrela de nêutrons obedece:
(120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Então matéria é vertida na estrela de nêutrons, até a criticidade. Especialistas sabem que o primeiro sintoma de criticidade é a subida súbita da pressão até o infinito no centro da estrela de nêutrons (supostamente esfericamente simétrica), segundo o modelo de Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) (ref.[1], equação 144.22). Pensamos que esta subida atua sobre os valores locais das constantes da física (velocidade da luz, constante gravitacional, massa). Modelos com "constantes variáveis" foram inicialmente introduzidos pelos autores ([18], [19], [20], e [14]). Mais tarde, outros autores desenvolveram este novo conceito, de uma maneira um tanto diferente [17].
...Pensamos que isso causaria o nascimento de uma ponte hipertoroidal, ligando as duas dobras. Então a matéria fluiria (rapidamente, a velocidade relativística) da dobra F para a dobra F*, através desta passagem. Como mostrado acima, este fenômeno inverte a massa, ver seção 14, equação (110), de modo que a solução não estacionária depende do sistema:
(122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T*- T )
Em "meio ao processo" T = T* . Então a solução obedece:
(124)
S = 0
(125)
S* = 0
...Pensamos que é o verdadeiro significado da geometria de Schwarzschild. Corresponderia a um referencial que pertence a um processo não estacionário.
...Esta solução não estacionária é apenas um projeto de solução. Ainda não está construída. Não sabemos o que viria, como o processo completo se pareceria.