- Mais sobre imersão e geodésicas.
Nem todas as superfícies podem ser imersas em R3. Por exemplo, considere a métrica
(134)
onde Rs > 0 e r > 0
é definida em R módulo 2 
Expresso com essas coordenadas peculiares [ r , ], este elemento de linha é regular quase em toda parte (exceto no ponto r = 0). Em outros lugares, nenhum problema surge. Seu grupo isométrico é O2. As órbitas do grupo são círculos r = constante. Poderíamos imaginar que esta superfície poderia ser imersa em R3, onde apareceria como axisimétrica, em torno de algum eixo z.
( = constante ) existem geodésicas. Poderíamos pensar que elas são "linhas meridionais" da superfície e que a equação z ( ) de tal meridiano pode ser construída como fizemos no início do artigo. Ao longo das geodésicas ( = constante ) :
(135)
Se esta superfície pode ser imersa em R3, ao longo dessas geodésicas :
(136)
o que dá :
(137)
Conclusão : esta superfície não pode ser imersa em R3.
Esta métrica (135) evoca alguma ação repulsiva.
Nem todas as superfícies, conforme definidas por sua métrica, podem ser [imersas]. De qualquer forma, essas superfícies "existem", mesmo que não possamos segurá-las em nossas mãos.
Considere a seguinte hipersuperfície 3d, definida por :
(138)
com Rs > 0 e r > 0
é definida em R módulo 2
Não podemos imersir tal hipersuperfície. Mas ela existe e possui "geodésicas planas" ( 
= /2).
Podemos calcular o sistema geodésico dessas hipersuperfícies 2d e 3d. Podemos representá-las em um plano (r,). Elas são reais.
(139)
Seu desenho é idêntico ao das duas superfícies anteriores, conforme definidas por seu elemento de linha (134). Esses dois objetos geométricos são simplesmente conexos.
Fig.25
: Geodésicas correspondentes
aos elementos de linha (134)
e (138)
(Observe que é semelhante a uma ação de repulsão).
Há algo desconcertante. Dado um elemento de linha, podemos calcular o sistema geodésico. Por exemplo, o da representação clássica da geometria de Schwarzschild corresponde a :
(140)
Podemos calcular as curvas r () correspondentes a esta equação diferencial.
Elas são reais, inclusive para valores de r < Rs !
Fig.26 : Linha geodésica completa, correspondente
ao elemento de linha de Schwarzschild.
Entendemos por que os físicos ficaram perplexos após observar este resultado estranho. Mas há um fato matemático : um elemento de linha pode produzir um sistema geodésico real, com algumas porções correspondendo a um elemento de comprimento ds imaginário.
E quanto à física ? Identificamos ds como um incremento de tempo próprio. Acima, decidimos considerar que ds imaginário não corresponde a um caminho físico, o que nos obrigou a reconsiderar a "topologia local" da hipersuperfície, mudando a "topologia local esferoidal" para uma "topologia local hipertoroidal".
Em trabalhos anteriores, as pessoas mantiveram essa hipótese de "topologia local esferoidal", de modo que a interpretação física do "interior" da esfera de Schwarzschild tornou-se problemática. Na referência [1], na seção 6.8, lemos :
(No interior da esfera de Schwarzschild) pareceria natural reinterpretar r como um marcador de tempo e t como um marcador radial (...)
... isso implicaria que ds2 < 0 ao longo desta linha de mundo.
- A extensão analítica de Kruskal.
No sistema de coordenadas clássico [x� , r , , ], a velocidade radial da luz é :
(141)
de modo que tende a zero quando r tende a Rs. O argumento de Kruskal é o seguinte ( referência [1], seção 6.8 ).
Esta é uma característica indesejável das coordenadas de Schwarzschild que podemos eliminar da seguinte forma; buscamos uma transformação para r e t para novas variáveis u e v nas quais o elemento de linha tenha a forma :
(6.187)
... chegamos a uma transformação apropriada para o interior do raio de Schwarzschild :
(6.204)
Enquanto, fora dessa esfera :
(6.201)
*
*
O requisito básico é que f seja regular na esfera de Schwarzschild r = Rs. Ainda de [1] :
Assim, u serve como marcador radial global, e v serve como marcador de tempo global.
A propósito, de (6.187), geodésicas nulas (ds = 0) fornecem uma "velocidade da luz constante" :
(142)
De (6.201) vemos que quando r tende ao infinito, f tende a zero, de modo que Adler, Schiffer e Bazin dizem [1] :
Elas não correspondem, no entanto, a coordenadas esféricas para o espaço plano na distância assintótica, como fazem as coordenadas de Schwarzschild.
A métrica de Kruskal também é uma solução não singular da equação de Einstein nessas regiões e é equivalente à solução de Schwarzschild, mas não tem singularidade no limite (a esfera de Schwarzschild). Esta é uma extensão analítica da variedade.
Kruskal concentra-se no problema neste limite, que se torna não singular, sendo a singularidade concentrada no "centro geométrico" onde f tende ao infinito. Ainda usando a referência [1], reproduzimos a passagem dedicada às trajetórias radiais de fótons para dentro :
Em termos de u , v a trajetória é simples; em termos de r e t , no entanto, vemos que ela começa em algum r > Rs finito e x� finito, viaja para dentro em direção a r = Rs quando x� tende ao infinito, e cruza a linha x� = infinito para o interior da esfera de Schwarzschild. Depois disso, r continua a diminuir ao longo da trajetória, mas x� diminui. ... O tratamento atual também esclarece que x� não é um marcador de tempo razoável no interior da esfera de Schwarzschild.
Vemos que "nada é perfeito". Com sua escolha peculiar de coordenadas, Kruskal gerencia a travessia da esfera de Schwarzschild, confinando a característica singular da solução geométrica em uma "singularidade central". Mas a métrica não é mais lorentziana no infinito.
Isso mostra como a escolha de coordenadas modifica a interpretação da solução. A nossa introduz uma mudança na "topologia local" (ponte hipertoroidal), mas toda a singularidade é eliminada.
22)Voltando à imersão.
O teorema de Wiener-Graustein afirma que qualquer superfície n-dimensional, com n > 2, pode ser imersa em um espaço cuja dimensão mínima é
(143)
Para hipersuperfícies 4d, isso corresponde a um espaço de 10 dimensões. Sabemos que as geodésicas da geometria de Schwarzschild estão em planos. = p/2 corresponde a um deles. Então podemos nos concentrar em um subconjunto de geodésicas ( = p/2). Essas geodésicas dependem de dois parâmetros l e h. Sabemos que as geodésicas ( l =1 ) correspondem a partículas cuja velocidade é zero no infinito.. Além disso, escolha o subconjunto de geodésicas ( = constante). Então :
(144)
Introduza uma coordenada adicional z e escreva :
(145)
ds 2 = dr 2 + dz 2
(146)
Uma equação diferencial cuja solução é :
(147)
Podemos representar essas geodésicas em um espaço 3d [ z , r ,]. Elas são linhas meridionais de uma superfície axisimétrica.
Fig. 27 : O meridiano da superfície na qual uma imersão isométrica das geodésicas de Schwarzschild ( = constante) é realizada.
No espaço 3d, esta superfície parece-se com a figura 28 (um corte pela metade).
Fig.28 : A superfície de imersão.
Se desenharmos as geodésicas "radiais" nela, obtemos a figura 29.
Fig.29 : Representação das geodésicas "radiais". Parte inferior : sua projeção em um plano [ r ,].
É uma imersão muito parcial, pois está limitada ao conjunto de geodésicas "radiais". A figura 29 evoca uma dobra e sugere enantiomorfia. De fato, considere um conjunto de três pontos seguindo geodésicas radiais. Obtemos
Fig.30-a : Três pontos de massa, caindo em direção à garganta ao longo de caminhos "radiais".
e :
**Fig.30-b : O mesmo, após cruzar a garganta.
O triângulo foi invertido.**
Na projeção plana [ r ,], a orientação do triângulo é invertida.
Imagine agora quatro partículas de teste seguindo trajetórias radiais, caindo em direção à esfera de Schwarzschild, formando um tetraedro. Veja a figura 31.
Fig.31 : Quatro partículas caindo sobre a esfera de Schwarzschild ao longo de geodésicas "radiais" em um espaço de representação euclidiano 3d.
Fig.32 : Após "quicar" na esfera de Schwarzschild, as partículas viajam no espaço gêmeo. O tetraedro é invertido (enantiomorfia)
Vamos voltar à representação anterior. O vetor normal também é invertido :
Fig.33 : Uma geodésica peculiar = constante em sua representação
No conjunto de geodésicas (l = 1), em um espaço ( r ,, z ).