O Retornoamento do Toro
9 de dezembro de 2004
página 6
O retornoamento não trivial do toro
J.P.Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences.
tomo 293, sessão de 5 de outubro de 1981, série 1 pp. 269-272
Contentar-me-ei em apresentar a
sequência de desenhos, sem comentá-los.
Retornoamento não trivial do toro. Primeira parte
da transformação
Retornoamento não trivial do toro. Segunda parte da
transformação
Quando se chega à figura v, vê-se que é então fácil fazer coincidir a estrutura
cinza e a estrutura rosa para transformar este objeto em recobrimento de
duas folhas da garrafa de Klein.
O retornoamento opera-se então por
troca das camadas em frente. A seguir, o mesmo desenho com
uma codificação cromática.
Recobrimento de duas folhas da garrafa
de Klein, com codificação cromática
(este desenho não fazendo parte do meu relatório anual ao Cnrs.
Encontrá-lo-emos no Topologicon)
As diferentes famílias de toros.
O que Stephen
Smale tinha demonstrado em 1957 era que havia apenas uma única família de imersões
da esfera e que todas essas podiam ser ligadas
entre si por uma homotopia. Estas formavam um grupo cujo elemento
neutro consistia em deixar o objeto no estado em que estava. Perguntou-se se
poderia ser o mesmo para o toro. Os matemáticos
Ioan James e Emery Thomas mostraram que as imersões do toro se repartiam
em quatro continentes entre os quais era impossível passar com
o auxílio de uma homotopia regular.
As quatro famílias de toros
O "toro padrão", desenhado
no centro da folha, pertence à mesma família que o objeto
figurado em b. É o que, de passagem, mostrei
na versão do retornoamento do toro que inventei em 1980. A
família evocada em a representa um toro que sofreu uma torção
de 360°. Ele se parece com o toro padrão, mas os dois se definem
a partir de seu sistema de cartografia, com o auxílio de duas
famílias de curvas. No toro padrão utilizam-se dois conjuntos de círculos
assimilados a meridianos e a paralelos.
Sobre o toro a dever-se-ia completar a família de círculos colada
sobre ele por uma segunda família, torcendo-se em sentido inverso. O que se pode mostrar
então é que é impossível, com o auxílio de uma homotopia regular,
fazer a malha deste toro a coincidir com a malha do toro padrão
(círculos meridianos mais círculos paralelos). É neste sentido
que são objetos diferentes. Todos esses objetos podem evidentemente
configurar-se segundo um recobrimento de duas folhas da garrafa
de Klein.
A potência das ferramentas do geômetra
é poder prever o que é possível e o que não é.
Transformar o toro padrão no toro da figura b: sim.
Passar de c a d: não.
Isso evita perder tempo tolamente
e incita sobretudo a procurar coisas que não são de modo algum
evidentes, como retornar uma esfera. O mesmo se dá
em todas as ciências. Acontece que as pessoas passem ao lado
de abordagens fecundas, durante anos ou mesmo
séculos, simplesmente porque as julgavam impossíveis de
realizar. Consagrei alguns anos da minha vida a construir
uma teoria da supressão das ondas de choque em torno de um objeto que
se desloca a velocidades supersônicas num gás, com
o auxílio de um campo de forças de Laplace, da "MHD". Um estudante
até fez sua tese sobre este assunto sob minha direção e nós
publicamos esses trabalhos em diferentes revistas com comitê
de leitura e colóquios científicos. É um tema que começa
apenas a vir à superfície, trinta anos depois. Suspeita-se que os
americanos disporiam de aviões hipersônicos capazes de evoluir
a Mach 10 sem criar onda de choque (e em particular sem sofrer
as formidáveis restrições térmicas ligadas à recompressão
do ar por trás desses "bangs"). É o famoso mito do Aurora,
aparelho cruzando na altitude em que se produzem as auroras boreais,
entre 80 e 150 km de altitude. Aurora é também a prefiguração dos
futuros lançadores espaciais que, apoiando-se no ar, serão muito mais econômicos
que os foguetes do Cnes. Foi impossível, na França,
iniciar tais pesquisas (tive essas ideias em 1975), porque
as pessoas, em particular no Cnrs, as achavam totalmente desarrazoadas.
O resultado representa trinta anos de atraso em relação
aos Estados Unidos, a meu ver totalmente irrecuperáveis.
O porta-tabaco
Para ser completo é preciso citar as
versões do retornoamento da esfera tendo por objeto central um porta-tabaco.
Era um objeto que era comum quando eu era
jovem, mas que hoje quase não se deve mais encontrar. O primeiro
que desenhou essas sequências foi Georges Francis. Há alguns
anos trabalho numa versão poliédrica dessas versões,
que já deu um modelo central bastante bonito. Mas,
para mostrá-lo a vocês, terei de conseguir pôr a mão nele de novo.
Rapidamente, espero, pois é um dos objetos mais fascinantes que
jamais criei.
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