Rotação da esfera e imersão da garrafa de Klein

A Rotação da Esfera

7 de dezembro de 2004

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**Introdução. **

Consideraremos, a seguir, superfícies fechadas, como a esfera, o toro e algumas outras. São superfícies no sentido em que o homem da rua as entende, ou seja, são objetos de 2 dimensões que são representados em um espaço euclidiano de três dimensões, R3, que é nosso espaço mental de representação. Essas superfícies podem ser objeto de vários tipos de representações. Se elas não se cortarem a si mesmas, diremos que estão imersas (em R3). Se elas se cortarem, falaremos então de imersões e esse corte será representado pela presença de um conjunto de auto-interseção (auto-interseção).

Em nossas imersões, suporemos que o plano tangente varia continuamente e que a superfície é, por exemplo, livre de singularidades como o vértice de um cone. Nossas superfícies serão regulares.

No caso das imersões, exigiremos que ao longo das linhas de auto-interseção os dois planos tangentes às folhas que se cruzam sejam distintos.

O mundo da geometria, como concebido pelo matemático, é bastante diferente do mundo físico. O fato de as superfícies poderem se atravessar não o incomoda em nada. O mundo físico não permite esse tipo de coisa. Mas isso se torna possível no mundo metafísico. Assim, na Bíblia lê-se que quando os mortos ressuscitarem, o farão na forma de "corpos gloriosos". Eles poderão então passar através de qualquer coisa e, em princípio, ser capazes de se atravessarem eles mesmos. Assim, quando chegar o tempo do Juízo Final, se você estiver passeando por Roma na forma de corpo glorioso, e estiver perdido procurando a Piazza Navona, você pode ser tentado a pedir direções a outro ser humano ressuscitado, com a mesma aparência que você. Suponha que a pessoa que você interrogar esteja se dirigindo na direção oposta em relação a essa praça. No espaço físico ordinário, para lhe indicar o caminho correto, ele teria que girar sobre si mesmo para apontar seu dedo nessa direção. Mas se ele estiver andando na forma de corpo glorioso, essa rotação não será mais necessária. Ele poderá apontar seu dedo indicador para seu umbigo e se atravessar a si mesmo. Quando sua mão reaparecer saindo de suas costas, ele apenas terá que lhe dizer "por aqui". Ao introduzir seu braço através de seu abdômen, ele terá criado em sua envoltória corporal um conjunto de auto-interseção composto por dois círculos, que desaparecerá quando ele retornar à sua configuração normal.

Se um ser humano fecha a boca, coloca uma pinça em seus narizes para obstruí-los e se ignorarmos seus outros orifícios naturais, sua envoltória corporal adota então a topologia da esfera S2. Imaginemos um ser ressuscitado na forma de corpo glorioso cujos orifícios naturais estejam assim obstruídos. Sabemos que ele pode se atravessar a si mesmo, ou seja, sua envoltória corporal pode passar de uma situação de imersão para uma situação de imersão. Um dos problemas metafísicos que então se colocou foi saber se um ser ressuscitado na forma de corpo glorioso poderia se virar sem fazer dobras.

Uma pequena observação à passagem. Mágicos sabem usar "círculos mágicos" que podem se entrelaçar "de forma mágica". Poderíamos imaginar representar superfícies com um tipo de "malha mágica" tal que as duas folhas, representadas aqui uma em preto e outra em rosa, possam se atravessar sem dificuldade.

A malha mágica

De qualquer forma, é preciso reconhecer que muitas vezes não há muita diferença entre matemática e magia. Há vinte anos, criei uma tirinha: o Topologicon. Agora está esgotado e inacessível, exceto como objeto de coleção. Em uma das páginas, podia-se ver isto:

É realmente lamentável que as editoras Belin tenham decidido abandonar essa coleção. Deve-se dizer que com um custo de produção de pouco mais de um euro, vender os álbums por 13 euros (mais o frete), à venda por correspondência, além de deixar uma margem de lucro de 12 euros, ou seja, com um lucro superior a 92% do preço de venda, não corresponde a uma estratégia comercial muito evidente, especialmente para preto e branco.

Consideremos uma esfera S2 imersa em R3. Supomos que sua superfície externa é cinza e seu interior tem uma cor rosa antiga. Podemos pressionar dois pontos antípodas, que chamaremos arbitrariamente de "pólo norte" e "pólo sul", até colocá-los em contato em um ponto. Podemos fazer isso, por exemplo, com um pão de forma. Quando se trata de um pão de forma matemático (não sabemos se os pães de forma ressuscitam ou não na forma de corpos gloriosos), as duas regiões polares, após terem estado em contato em um ponto, podem se atravessar por uma curva de auto-interseção que forma um círculo. Antecipando, diremos que essa superfície sofreu uma catástrofe do tipo Do.

Então, pode-se tentar virar o pão de forma, a esfera, continuando a operação. Mas então um dobra vai se formar, que vai se deteriorar em um feio dobra, ou mais exatamente, uma superfície de rebro (figura d).

No final dos anos 50, a grave questão de saber se poderíamos virar pães de forma metafísicos sem fazer dobras permanecia sem solução. Na verdade, todo mundo acreditava que era estritamente impossível. Mas em 1957, um matemático, Stephen Smale (que recebeu a medalha Fields, mas por um trabalho totalmente diferente) demonstrou que as diferentes imersões da esfera S2 em R3 constituíam um único conjunto e que sempre era possível encontrar uma sequência de deformações contínuas de imersões (chamadas também de homotopia regular) que permitissem passar de uma situação para outra. O corolário era que devíamos poder passar, por meio de uma sequência contínua de imersões, do mergulho padrão da esfera S2 ao mergulho antipodal. Dito de forma mais simples: devíamos poder virar uma esfera sem fazer dobras, desde que permitíssemos que ela se virasse sozinha.

O orientador de Smale se chamava Raoul Bott. Este perguntou a seu aluno como deveria ser feito e Smale respondeu que não tinha a menor ideia, mas que seu teorema era totalmente inatacável. Smale não via nada no espaço, mas não se importava (como é o caso de muitos geômetras). E, se formos francos, após demonstrar seu teorema, ele se importava totalmente com a forma como poderia concretizar a coisa e logo se interessou por outro assunto, deixando seus colegas matemáticos na maior perplexidade. Acho que não é muito simpático criar problemas assim e depois deixar as pessoas se virarem para encontrar a solução, dez anos depois.

Deve-se dizer que é bastante difícil imaginar imersões na cabeça. No entanto, conhecemos superfícies que só podem ser representadas em R3 dessa forma. A garrafa de Klein, por exemplo.

Garrafa de Klein

Ela foi representada aqui com um sistema de malha-sistema de coordenadas constituído por dois conjuntos de curvas fechadas, como o toro. Assim, podemos criar uma malha para uma garrafa de Klein sem criar uma singularidade de malha. Mas, como podemos ver, essa superfície necessariamente se atravessa por uma curva fechada, um círculo. Portanto, não podemos mergulhá-la...