Virada da esfera e imersão da garrafa de Klein

A Virada da Esfera

7 de dezembro de 2004

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**Introdução. **

Consideraremos, a seguir, superfícies fechadas, como a esfera, o toro e algumas outras. São superfícies no sentido em que o homem comum as entende, ou seja, são objetos de 2 dimensões que são representados em um espaço euclidiano de três dimensões, R3, que é o nosso espaço mental de representação. Essas superfícies podem ser objeto de vários tipos de representação. Se elas não se cortam a si mesmas, dizemos que estão imersas (em R3). Se elas se cortam, falaremos então de imersões e esse corte será representado pela presença de um conjunto de auto-interseção (auto-interseção).

Em nossas imersões, suporemos que o plano tangente varia continuamente e que a superfície é, por exemplo, livre de singularidades como o vértice de um cone. Nossas superfícies serão regulares.

No caso das imersões, exigiremos que ao longo das linhas de auto-interseção os dois planos tangentes às folhas que se cruzam sejam distintos.

O mundo da geometria, como concebido pelo matemático, é bastante diferente do mundo físico. O fato de as superfícies poderem se atravessar não o incomoda em nada. O mundo físico não permite esse tipo de coisa. Mas isso se torna possível no mundo metafísico. Assim, na Bíblia lê-se que quando os mortos ressuscitarem, o farão na forma de "corpos gloriosos". Eles poderão então passar através de qualquer coisa e, em princípio, seriam capazes de se atravessar a si mesmos. Assim, quando chegar o tempo do Julgamento Final, se você estiver passeando por Roma na forma de corpo glorioso, e estiver perdido e procurando a Piazza Navona, você pode tentar pedir direções a outro ser humano ressuscitado, com a mesma aparência que você. Suponha que a pessoa que você interrogar esteja se dirigindo na direção oposta em relação a essa praça. No espaço físico ordinário, para lhe indicar o caminho correto, ele teria que girar sobre si mesmo para apontar seu dedo nessa direção. Mas se ele estiver andando na forma de corpo glorioso, essa rotação não será mais necessária. Ele poderá apontar seu dedo indicador para seu umbigo e se atravessar a si mesmo. Quando sua mão reaparecer saindo de suas costas, ele terá apenas que lhe dizer "por aqui". Ao introduzir seu braço através de seu abdômen, ele terá criado em sua envoltória corporal um conjunto de auto-interseção composto por dois círculos, que desaparecerá quando ele retornar à sua configuração normal.

Se um ser humano fecha a boca, coloca uma pinça em seus narizes para obstruí-los e se abstrair dos outros orifícios naturais, sua envoltória corporal adota então a topologia da esfera S2. Imaginemos um ser ressuscitado na forma de corpo glorioso cujos orifícios naturais estejam assim obstruídos. Sabemos que ele pode se atravessar a si mesmo, ou seja, sua envoltória corporal pode passar de uma situação de imersão para uma situação de plongement. Um dos problemas metafísicos que se levantou então foi saber se um ser ressuscitado na forma de corpo glorioso poderia se virar sem fazer dobras.

Uma pequena observação à passagem. Mágicos sabem usar "círculos mágicos" que podem se penetrar "de forma mágica". Poderíamos imaginar representar superfícies com uma espécie de "malha mágica" tal que as duas folhas, representadas aqui em preto e em rosa, possam se atravessar sem dificuldade.

A malha mágica

De qualquer forma, é preciso reconhecer que muitas vezes não há muita diferença entre matemática e magia. Há vinte anos, criei uma tirinha: o Topologicon. Ela está agora esgotada e inacessível, exceto como objeto de coleção. Em uma das páginas, podia-se ver isto:

É realmente lamentável que as editoras Belin tenham decidido abandonar esta coleção. Deve-se dizer que com um custo de produção de pouco mais de um euro, vender os álbums por 13 euros (mais o frete), à venda por correspondência, além de deixar uma margem de lucro de 12 euros, ou seja, com um lucro superior a 92 por cento do preço de venda, não corresponde a uma estratégia comercial muito evidente, especialmente para preto e branco.

Consideremos uma esfera S2 imersa em R3. Supomos que sua superfície externa é cinza e seu interior tem uma cor rosa velho. Podemos pressionar dois pontos antípodas, que chamaremos arbitrariamente de "pólo norte" e "pólo sul", até colocá-los em contato em um ponto. Podemos fazer isso, por exemplo, com um donut. Quando se trata de um donut matemático (não sabemos se os donuts ressuscitam ou não na forma de corpo glorioso), as duas regiões polares, após terem estado em contato em um ponto, podem se atravessar por uma curva de auto-interseção que assume a forma de um círculo. Antecipando, diremos que esta superfície sofreu uma catástrofe do tipo Do.

Então, pode-se tentar virar o donut, a esfera, continuando a operação. Mas então um "bolso" vai se formar, que vai se degradar em um feixe desagradável, ou mais exatamente, uma superfície de rebroussement (figura d).

No final dos anos cinquenta, a grave questão de saber se era possível virar donuts metafísicos sem fazer dobras permanecia sem resposta. Na verdade, todos achavam que era estritamente impossível. Mas em 1957, um matemático, Stephen Smale (que recebeu a medalha Field, mas por outro trabalho), demonstrou que as diferentes imersões da esfera S2 em R3 constituíam um único conjunto e que sempre era possível encontrar uma sequência de deformações contínuas de imersões (chamadas também de homotopia regular) que permitissem passar de uma situação para outra. O corolário era que era possível passar, por meio de uma sequência contínua de imersões, do plongement padrão da esfera S2 ao plongement antipodal. Dito de forma mais simples: era possível virar uma esfera sem fazer dobras, desde que se permitisse que ela se virasse sozinha.

O orientador de Smale chamava-se Raoul Bott. Este perguntou a seu aluno como deveria ser feito e Smale respondeu que não tinha a menor ideia, mas que seu teorema era totalmente inatacável. Smale não via nada no espaço, mas não se importava (como é o caso de muitos geômetras). E, se for completamente honesto, após demonstrar seu teorema, ele se importava muito pouco com a forma como poderia ser concretizado e logo se interessou por outro assunto, deixando seus colegas matemáticos em grande perplexidade. Acho que não é muito simpático criar problemas assim e deixar as pessoas resolverem depois, dez anos depois.

É preciso dizer que é bastante difícil imaginar imersões, na cabeça. No entanto, sabemos que existem superfícies que só podem ser representadas em R3 dessa forma. A garrafa de Klein, por exemplo.

Garrafa de Klein

Ela foi representada aqui com um sistema de malha-sistema de coordenadas composto por dois conjuntos de curvas fechadas, como o toro. Assim, podemos malhar uma garrafa de Klein sem criar singularidades de malha. Mas, como podemos ver, essa superfície necessariamente se atravessa por uma curva fechada, um círculo. Portanto, não podemos imergi-la...