Inversão da esfera e permutação dos pontos cuspídeos

A Inversão da Esfera

8 de dezembro de 2004

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Permutação dos pontos cuspídeos de uma crosscap

Isso vai constituir um pequeno desvio, no estilo "para que serve a inversão da esfera?". Aqui: para permutar os dois pontos cuspídeos de uma crosscap, o que parecia inicialmente impossível. Eu inventei esse pequeno truque há uma boa dúzia de anos. Isso nunca foi publicado. Mas onde publicar algo assim? Não se sabe bem. Não se trata de "um resultado importante em matemática", mas é um exercício bastante atraente. No que segue, usaremos representações poliédricas. À direita, a crosscap "redonda" e à esquerda, uma de suas múltiplas representações poliédricas possíveis.

**A crosscap com uma de suas múltiplas representações poliédricas. **

Na figura embaixo e à direita, arrumamos para colocar os dois pontos cuspídeos C1 e C2 situados na extremidade de sua linha de auto-interseção em uma parte que pode ser considerada como uma porção de esfera. Sabemos que podemos inverter uma esfera. Portanto, podemos aplicar o mesmo tratamento a esse objeto, sem nos preocupar com as diferentes etapas dessa transformação. Na representação poliédrica, isso consistirá em inverter o cubo.

Tudo o que sabemos é que, no final da operação, teremos duas espécies de invaginações que se apresentam como o que veria um observador que estivesse "dentro" da crosscap inicial (o que é uma expressão inadequada, já que essa superfície é unilateral).

Após a inversão, do cubo à esquerda, da esfera à direita

A representação poliédrica é realmente muito conveniente para não perder o fio dessas operações. Resta apenas introduzir dois dedos nessas invaginações e puxar tudo para fora:

Puxar o ponto cuspídeo C2 "para fora"

Se isso lhe divertir, você poderá construir os modelos poliédricos com cartolina. A menos que alguém corajoso construa esses modelos em vrml para que possamos manipulá-los.

Falta apenas finalizar a operação.

**Passagem para uma imersão idêntica à inicial, com os pontos cuspídeos permutados. **

Eu prometi, um dia, fazer um dossier contando minhas experiências com o psicanalista Jacques Lacan. A crosscap serviu para modelar o "fantasma fundamental". Ele se concentrava no "ponto cuspídeo central" e simplesmente ignorava o segundo. Nessa região central, Lacan localizou o "falo linguístico" ou "objeto pequeno a". Eu lhe contarei o resto outra vez. De qualquer forma, Lacan não previu que esses pontos pudessem ser "père - mutados". Na verdade, quando ele me falou sobre essa modelagem linguístico-geométrico-psicanalítica, froncei as sobrancelhas imaginando que os dois pontos cuspídeos da crosscap pudessem desempenhar papéis diferentes e, na fração de segundo seguinte, simplesmente ao me perguntar, descobri como trocá-los. Lacan ficou bastante surpreso, lembro-me. Seu fantasma fundamental tinha dois falos linguísticos em vez de um só. Toda sua obra estava articulada em torno desse objeto. Mas imediatamente lhe propus uma solução alternativa localizando o falo linguístico no polo (único) de uma superfície de Boy. Assim, tudo voltou ao normal, a seu grande satisfação.

Esse episódio ocorreu pouco antes de sua morte. Aparentemente, segundo pude constatar, esse redimensionamento psicanalítico-geométrico ainda não se difundiu dentro da comunidade dos psicanalistas lacanianos.

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