Rotação da esfera e permutação dos pontos cuspídeos

A Rotação da Esfera

8 de dezembro de 2004

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Permutação dos pontos cuspídeos de uma crosscap

Isso vai constituir um pequeno desvio, no estilo "para que serve a rotação da esfera?". Aqui: para permutar os dois pontos cuspídeos de uma crosscap, o que parecia a priori impossível. Eu inventei esse pequeno truque há uma boa dúzia de anos. Isso nunca foi publicado. Mas onde publicar algo assim? Não se sabe muito bem. Não se trata de "um resultado importante em matemática", mas é um exercício bastante atraente. No que segue, usaremos representações poliédricas. À direita, a crosscap "redonda" e à esquerda, uma de suas múltiplas representações poliédricas possíveis.

**A crosscap com uma de suas múltiplas representações poliédricas. **

Na figura embaixo e à direita, nos organizamos para colocar os dois pontos cuspídeos C1 e C2 localizados na extremidade de sua linha de auto-interseção em algo que pode ser considerado como uma porção de esfera. Sabemos que podemos virar uma esfera. Então podemos submeter esse objeto ao mesmo tratamento, sem nos preocupar com as diferentes etapas dessa transformação. Na representação poliédrica, isso consistirá em virar o cubo.

Tudo o que sabemos é que, no final da operação, teremos duas espécies de invaginações que se apresentam como o que veria um observador que se situaria "no interior" da crosscap inicial (o que é uma expressão impropria, já que essa superfície é unilateral).

Após a rotação, do cubo à esquerda, da esfera à direita

A representação poliédrica é bastante conveniente para não perder o fio dessas operações. Resta apenas introduzir dois dedos nessas invaginações e puxar tudo para fora:

Puxar o ponto cuspídeo C2 "para fora"

Se isso lhe divertir, você poderá construir os modelos poliédricos com cartolina. A menos que alguém corajoso construa esses modelos em vrml para que possamos manipulá-los.

Resta apenas finalizar a operação.

**Passagem para uma imersão idêntica à do início, com os pontos cuspídeos permutados. **

Eu prometi, um dia, fazer um dossier contando minhas experiências com o psicanalista Jacques Lacan. A crosscap serviu para modelar o "fantasma fundamental". Ele se concentrou no "ponto cuspídeo central" e simplesmente ignorou o segundo. Nessa região central, Lacan localizou o "falo linguístico" ou "objeto pequeno a". Contarei o resto outra vez. De qualquer forma, Lacan não previu que esses pontos pudessem ser "père - mutados". Na verdade, quando ele me falou sobre essa modelagem linguística - geométrica - psicanalítica, froncei as sobrancelhas imaginando que naquela crosscap os dois pontos cuspídeos pudessem desempenhar papéis diferentes e, na fração de segundo seguinte, simplesmente ao me perguntar, eu descobri como trocá-los. Lacan ficou bastante surpreso, lembro-me. Seu fantasma fundamental tinha dois falos linguísticos em vez de apenas um. Toda sua questão estava articulada em torno desse objeto. Mas eu logo propus uma solução alternativa, localizando o falo linguístico no polo (único) de uma superfície de Boy. Assim, tudo voltou ao normal, a seu grande satisfação.

Esse episódio ocorreu pouco antes de sua morte. Aparentemente, segundo o que pude constatar, esse redirecionamento psicanalítico-geométrico ainda não se difundiu dentro da comunidade dos psicanalistas lacanianos.

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