O Retorno da Esfera
O Retorno da Esfera
7 de dezembro de 2004
página 3
**As catástrofes elementares. **
Já dissemos acima que as imersões que considerávamos eram tais que os planos tangentes ao longo de seus conjuntos de auto-interseção, quando existiam, permaneciam distintos. É então possível passar de uma imersão para outra utilizando quatro catástrofes elementares. Morin lhes deu nomes, que aparecem nos desenhos a seguir. A primeira conduz à criação de uma curva fechada (e sua destruição, operação inversa). Isso acontece quando mergulhamos o cotovelo na água de uma bacia para avaliar sua temperatura (à esquerda). Figura a4: as superfícies estão em contato em um ponto. Em a5 a curva de auto-interseção foi criada. No decorrer do texto chamaremos esta operação de "catástrofe do cotovelo".
A "catástrofe do cotovelo": criação - destruição de uma curva fechada
A segunda catástrofe é a da "fatia de laranja":
**A catástrofe consistindo na criação-destruição de uma "fatia de laranja". **
Se observarmos bem estas imagens, da esquerda para a direita, veremos que um cilindro parabólico se aproxima de um diedro. O conjunto de auto-interseção é constituído por duas curvas com forma parabólica, separadas, mais evidentemente a aresta do diedro. Na figura do centro, a aresta do diedro está em contato com uma das geratrizes do cilindro. Esta aresta é tangente ao cilindro nesse ponto. O conjunto de auto-interseção é constituído por duas curvas com forma parabólica, tangentes em um ponto, e à aresta do diedro. Figura da direita: o cilindro parabólico continuou seu movimento. A curva de auto-interseção foi modificada. Ela é constituída pela aresta do diedro, mais as curvas parabólicas que se cruzam em dois pontos, localizados sobre a aresta do diedro. Pode-se considerar, inversamente, que o cilindro parabólico está imóvel e que são os dois "planos de corte" que se deslocam. A figura da direita evocaria então dois golpes de machado, ou duas cortes feitas com a serra. O cavaco também é representado. Morin o comparava a uma "fatia de laranja", imagem muito expressiva.
A terceira catástrofe é a "calça".
A catástrofe "da calça"
As imagens são suficientemente expressivas. Descemos da esquerda para a direita uma calça na água. À esquerda, o pássaro passa sob a cueca, mas o peixe permanece confinado em uma das pernas. À direita, o peixe passa, mas o caminho que o pássaro usava desapareceu. No centro, a situação intermediária. O que importa é a modificação local da curva de interseção, que corresponde ao que chamamos de "cirurgia", uma mudança de conexão de arcos de curva. Tente integrar bem esta transformação, que se revelará a mais difícil de implementar e de ver claramente na homotopia do retorno da esfera. Tenha bem em mente que esta catástrofe fecha um caminho ao mesmo tempo que abre outro na direção perpendicular.
A quarta e última catástrofe é a da "inversão de um tetraedro":
A catástrofe que inverte um tetraedro
A curva de auto-interseção é constituída por quatro "retas" que são os prolongamentos dos quatro lados de um tetraedro. Na figura da esquerda, isolamos este tetraedro que mostra suas faces cinzentas para fora. À direita, o oposto: as faces são rosas. No centro, a situação intermediária: o tetraedro foi reduzido a um ponto Q (quádruplo, pois está na interseção de quatro folhas).
Com estas quatro catástrofes, vamos considerar o retorno de uma esfera através de uma sequência contínua de imersões transversais. Esta variante é devida ao matemático (cego) Bernard Morin. Nossa reunião vale a pena ser contada. Um dia, um técnico da faculdade de letras me pediu para trazer meus talentos de desenhista para um conferencista que deveria falar sobre geometria. Cheguei a esse encontro sem nenhuma desconfiança. Sempre fui bastante hábil em ver objetos no espaço e quando nosso professor de matemática superior nos dava um problema de geometria descritiva, eu traçava a interseção e fornecia uma visão em perspectiva ao mesmo tempo que ele produzia seu enunciado. Mas lá, as coisas aconteceriam de forma diferente.
Não tive nenhuma dificuldade em desenhar as figuras acima. Mas quando foi necessário integrá-las em um esquema envolvendo o retorno da esfera, acabei perdendo completamente a cabeça, diante de todo um conjunto de folhas situadas uma atrás da outra. Frustrado, voltei a ver este personagem estranho que, embora cego, parecia mais à vontade do que eu neste desdobramento de formas. Então, por vários meses, segui suas aulas. O diálogo era bastante complicado. De seu lado, ele só tinha o recurso à palavra. Do meu, eu podia ou descrever meus desenhos para ele, ou colocar nas mãos dele modelos feitos em casa, ou posteriormente no local. Seria necessário gravar estes diálogos, absolutamente surreais, do tipo:
*- Tente imaginar duas curvas que se unissem formando algo como um chicote para bater ovos. *
Apesar da personalidade difícil do personagem, estas reuniões permaneceram inesquecíveis para mim. Só depois acostumei-me a tomar duas aspirinas antes de nossas sessões de trabalho, como medida preventiva. O caráter dele pode ser resumido no apelido com que sua esposa o qualificou: "Relâmpago Bendito", um personagem da banda desenhada de Hergé "Tintim no Tibete". As rixas de Morin tinham um caráter tão lendário quanto irrevogável. Ele às vezes mencionava certos de seus inimigos, que já haviam falecido, dizendo-lhes:
- Às vezes lhes lanço uma pequena maldição no além, dizendo que se não lhes fizer mal, ao menos não lhes fará bem.
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