Retorção da esfera matemática da catástrofe

A Retorção da Esfera

8 de dezembro de 2004

página 4

A versão de Bernard Morin

Para baixar a versão pdf do artigo de 1979 de B. Morin e J.P. Petit, publicado na Pour la Science

O retorcionamento da esfera (2,8 MB)

Vamos partir de uma esfera que apresenta sua face cinza para fora e sua face rosa para dentro. Em b e c levamos seus polos em contato. Em seguida, as camadas se entrelaçam segundo uma "catástrofe do cotovelo". Há a criação de uma curva fechada de auto-interseção. Embaixo e à direita, três meias seções permitem compreender melhor a configuração obtida. Nesse momento, a esfera parece um tipo de "bote inflável" circular, com um "bolo" e um "piso" de dupla parede.

Primeira etapa: uma "catástrofe do cotovelo". Criação de uma curva fechada de auto-interseção

Segunda operação: nova catástrofe do cotovelo, criação de uma segunda curva fechada.

Segunda criação de uma curva fechada de auto-interseção.

Para isso, o "bote inflável" se dobrou, com um movimento de torção, o que permitiu levar duas partes do "bolo", diametralmente opostas, em contato. A imagem seguinte é o resultado de duas catástrofes levando à criação de "fatias de laranja".

Após a criação de duas "fatias de laranja"

À esquerda, foram feitas cortes no modelo. No centro, como os dois cilindros, cuja seção local afeta a forma da letra grega "gama", se entrelaçaram. Lembramos que a catástrofe de criação de "fatias de laranja" era feita cortando uma "tora" com dois planos formando um diedro. Cada uma das estruturas cilíndricas cuja seção é em "gama" possui tanto a seção arredondada quanto o diedro. Olhe com atenção a figura i. Em j desenhei o conjunto de auto-interseção. A porção da curva fechada mais longa vem da primeira "catástrofe do cotovelo" que transformou a esfera em "bote inflável". Após a criação das duas fatias de laranja, obtemos um conjunto mais complexo cujo j é um subconjunto. Em j" vemos que essa estrutura pode ser comparada ao encaixe de duas "fatias de laranja" em duas arestas de um tetraedro, não adjacentes.

Tudo isso será um dia muito mais simples de compreender quando eu puder produzir animações. Isso não me causa nenhum problema técnico a priori. É apenas uma questão de tempo. Poucas pessoas conseguem não apenas enxergar no espaço, ou seja, ler esse código que usa linhas, pontos, cores, sombras e reflexos, mas também encadear na cabeça transformações imaginando o movimento sugerido. Espero um dia ter tempo para fazer todas essas coisas. Observemos ao passo que poderíamos usar modelos poliédricos, como eu fiz para mostrar como se pode transformar uma Crosscap em uma Superfície de Boy. É esse o futuro. Mas esses modelos precisam ser inventados. Mais adiante encontrará a versão poliédrica otimizada do modelo central dessa transformação imaginada por Bernard Morin (lembramos que ele é cego!), com a forma de construí-lo sozinho a partir de um corte.

Por que não levei essas coisas mais longe? Diria: por falta de "saídas". Não há revistas de matemática que aceitem publicar trabalhos como esses. Conseguimos fazê-lo entre 1975-78 através de algumas notas nos Comptes Rendus da Académie des Sciences de Paris, que certamente não foram lidas por muita gente. Mas era porque o acadêmico André Lichnérowicz se interessava pessoalmente por esses trabalhos. Ele faleceu hoje. Como esses trabalhos já estavam totalmente concluídos desde 1975, seria desejável produzir um filme de animação a partir dos meus desenhos. Trabalhando na animação, eu estava perfeitamente capaz de coordenar uma empresa desse tipo. Mas foi impossível encontrar financiamento no Cnrs e, finalmente, o matemático americano Nelson Max, inspirando-se em maquetes construídas por seu colega Charles Pugh (dessa mesma versão do retorcionamento da esfera), e usando um poderoso computador, conseguiu produzir o primeiro filme. Mas não é nem a primeira nem a última vez que franceses, que não recebem nenhum eco aos seus esforços, são superados por colegas estrangeiros mais organizados e melhor apoiados.

Vamos para a terceira fase, a mais difícil de compreender.

Preparação de duas catástrofes "do calção"

Na figura k distingue-se claramente os dois "pontos de pernas do calção", cujo detalhe figura em um primeiro plano k'. A seta branca indica o passo "entre as pernas". Essa transformação é realmente difícil de compreender. Adicionei o desenho m para tentar ser melhor compreendido. Em l representei com pontos a curva de auto-interseção, que figura em seu conjunto em l'. Um passo (aquele percorrido pela seta branca) vai se fechar. Esse movimento de fechamento vai com a elevação de uma parte da curva de interseção, em dois pontos. Esses pedaços de curva vão se tocar, cada um, sobre uma das linhas pertencentes às "fatias de laranja". Quando o contato ocorrer, a cirurgia será realizada. A dificuldade vem do fato de que, quando se viu as quatro catástrofes elementares, na página anterior, é preciso ser capaz de transpô-las sob todos os ângulos, torcendo o pescoço, se necessário. Em n está representado o momento crítico em que a cirurgia é realizada (a "situação média" da transformação) e em que o modo de conexão dos pedaços da curva será modificado. Sabe-se que essa catástrofe "do calção" fecha um passo e abre outro. O passo inicial é representado pela seta branca. Mas existe outro que se veria sob o mesmo ângulo, girando o modelo 180° sobre si mesmo em torno de um eixo vertical. Essas setas formam apenas uma. Antes que essas catástrofes se realizem, ainda é possível circular nesse "bote inflável dobrado". Quando essas catástrofes tiverem seu efeito, esse passo não será mais possível. Por outro lado, dois outros passos se criarão. Mas onde, quais partes do espaço estão envolvidas? Esses passos conectarão o interior das fatias de laranja com o exterior. Em l', você vê essas fatias de laranja. Vamos para a próxima etapa.

Fechamento do passo. Para uma dupla situação crítica

Em o representamos as duas catástrofes "do calção" em dois estágios diferentes. Um dos passos está completamente fechado. Estamos em situação crítica, logo antes de os arcos da curva mudarem seu modo de conexão. À direita (detalhe da figura o' ) o passo está apenas começando a se fechar. Assim, a aparência da curva de auto-interseção o" é diferente à direita e à esquerda. Nas figuras p, p' e p" a criticidade (situação "média" da transformação) é atingida dos dois lados. Na folha seguinte as cirurgias já tiveram seu efeito. As t...