Reverso do Toro na Topologia
O Reverso do Toro
9 de dezembro de 2004
página 5
Uma consequência desses trabalhos: o reverso trivial do toro
Se foi tão complicado reverter uma esfera, ao contrário, partindo disso, é extremamente fácil reverter um toro. Pode-se até dizer que é ao alcance de uma criança de dez anos. Trata-se, afinal, de uma esfera com uma alça. Procede-se como foi feito para permutar os dois pontos cuspídeos de uma Crosscap, ou seja, reverte-se a esfera sem se preocupar com nada. A alça fica então no interior. Digamos que este "ponte" se transforma em "túnel". Ora, todos os engenheiros sabem que qualquer túnel em uma rede rodoviária pode ser transformado em um ponto por meio de uma homotopia regular.
Quando a esfera é revertida, basta então introduzir um dedo nesse túnel e puxar com força. Ver os desenhos a seguir.
O reverso trivial do toro
Embora isso não fique muito claro nesse desenho, incluímos em a um dos círculos geradores do toro, que constituem uma das duas famílias de círculos que permitem mapear o toro sem criar singularidades de malha (ver o Topologicon). Quando a alça foi concentrada em uma região de uma esfera com alça b, a curva ainda é visível. Quando a esfera com alça foi revertida, em c, e o operador introduz seu dedo no túnel, essa curva envolve seu dedo. Quando ele "extrai" a alça, em d, vemos (imagem final e, a do toro revertido) que esse círculo se tornou o círculo da garganta da superfície. Assim, quando se parte de um toro mapeado com uma dupla rede de círculos meridianos e círculos paralelos (o círculo da garganta pertencendo a essa segunda família), vê-se que a operação de reverter troca essas duas famílias. Isso tem algo de mágico e confesso que isso foge ao meu entendimento pessoal. Cada um deve aprender a conhecer seus limites. Pessoalmente, acredito que em certas abordagens mentais o cérebro deveria ser equipado com um fusível.
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