Inversão do Toro em Topologia

A Inversão do Toro

9 de dezembro de 2004

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Uma consequência destes trabalhos: a inversão trivial do toro

Se se revelou tão complicado inverter uma esfera, por outro lado, a partir daí, é extremamente fácil inverter um toro. Pode-se até dizer que é algo acessível a uma criança de dez anos. Afinal, trata-se apenas de uma esfera dotada de um "asa". Procede-se como foi feito para trocar os dois pontos de canto de uma Crosscap, ou seja, inverte-se a esfera sem se preocupar com detalhes. A "asa" acaba então no interior. Digamos que este "ponte", se transforma em "túnel subterrâneo". Aliás, todos os engenheiros de obras públicas sabem que todo túnel em uma rede viária pode ser transformado em um ponto por meio de uma homotopia regular.

Quando a esfera é invertida, basta então passar um dedo por este túnel e puxar com força. Veja as figuras a seguir.

A inversão trivial do toro

Embora isso não seja muito visível nesta figura, mostramos em a um dos círculos geradores do toro, os quais constituem uma das duas famílias de círculos que permitem mapeá-lo sem criar singularidades na malha (veja o Topologicon). Quando a "asa" foi concentrada em uma região de uma esfera com "asa" (b), a curva ainda é visível. Quando a esfera com "asa" é invertida, em c, e o operador passa o dedo pelo túnel, esta curva envolve seu dedo. Quando ele "retira" a "asa", em d, vemos (imagem final e, a do toro invertido) que este círculo tornou-se... o círculo da garganta da superfície. Assim, quando partimos de um toro mapeado com uma dupla rede de círculos meridianos e círculos paralelos (o círculo da garganta pertencendo a esta segunda família), vemos que a operação de inversão troca estas duas famílias. Isso tem algo de mágico e confesso que isso ultrapassa meu próprio entendimento. Cada um deve aprender a conhecer seus limites. Penso pessoalmente que existem certas formas de pensar onde o cérebro deveria vir equipado com um fusível.

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