O virar do toro de Klein

O virar do toro

5 de dezembro de 2004

página 6

O virar não trivial do toro **
**J.P.Petit : ** **
Relatórios da Academia de Ciências.
volume 293, sessão de 5 de outubro de 1981, série 1 páginas 269-272

Me limitarei a apresentar a sequência dos desenhos, sem comentá-los.

**Virar não trivial do toro. Primeira parte da transformação **

**Virar não trivial do toro. Segunda parte da transformação **

Quando chega à figura v, vê-se que é então fácil alinhar a estrutura cinza e a estrutura rosa para transformar este objeto em um revestimento de duas folhas da garrafa de Klein.

O virar ocorre então trocando as folhas em questão. A seguir, o mesmo desenho com uma codificação cromática.

Revestimento de duas folhas da garrafa de Klein, com codificação cromática

(este desenho não faz parte do meu relatório anual ao CNRS. Pode ser encontrado no Topologicon )

As diferentes famílias de toros.

O que Stephen Smale demonstrou em 1957 foi que existia apenas uma família de imersões da esfera e que todas podiam ser conectadas entre si por uma homotopia. Essas formavam um grupo cujo elemento neutro consistia em deixar o objeto como estava. Perguntou-se se seria o mesmo para o toro. Os matemáticos Ioan James e Emery Thomas mostraram que as imersões do toro se distribuíam em quatro continentes entre os quais era impossível passar com uma homotopia regular.

As quatro famílias de toros

O "toro padrão", desenhado no centro da folha, pertence à mesma família que o objeto representado em b. Isso é o que eu mostrei, de passagem, na versão do virar do toro que inventei em 1980. A família mencionada em a representa um toro que sofreu um torcimento de 360°. Ele se parece com o toro padrão, mas os dois se definem a partir de seu sistema de cartografia, com o auxílio de duas famílias de curvas. No toro padrão, utilizamos dois conjuntos de círculos, assimilados a meridianos e paralelos. No toro a, deveríamos completar a família de círculos colados nele com uma segunda família, que se torce no sentido oposto. O que pode ser mostrado então é que é impossível, com uma homotopia regular, levar o entrelaçamento deste toro a em coincidência com o entrelaçamento do toro padrão (círculos meridianos mais círculos paralelos). É nesse sentido que são objetos diferentes. Todos esses objetos podem evidentemente ser configurados como um revestimento de duas folhas da garrafa de Klein.

A força das ferramentas do geômetra é poder prever o que é possível e o que não é. Transformar o toro padrão em toro da figura b: sim. Passar de c para d: não.

Isso evita perder tempo de forma estúpida e incentiva especialmente a buscar coisas que não são em nada óbvias, como virar uma esfera. É o mesmo em todas as ciências. Às vezes as pessoas passam por cima de métodos férteis, durante anos ou até mesmo séculos, simplesmente porque achavam que eram impossíveis de realizar. Dediquei alguns anos da minha vida a construir uma teoria da supressão das ondas de choque ao redor de um objeto se movendo a velocidade supersônica em um gás, com o auxílio de um campo de forças de Laplace, da "MHD". Um estudante fez sua tese sobre este tema sob minha orientação e publicamos esses trabalhos em diferentes revistas com comitê de leitura e congressos científicos. É um tema que começa apenas a surgir, trinta anos depois. Suspeita-se que os americanos tenham aviões hipersônicos capazes de se mover a Mach 10 sem criar ondas de choque (e em particular sem sofrer as formidáveis restrições térmicas relacionadas à recompressão do ar atrás desses "estouros". É o famoso mito da Aurora, aparelho cruzando à altitude onde ocorrem as auroras boreais, entre 80 e 150 km de altitude. Aurora também é a antecipação dos futuros lançadores espaciais que, apoiando-se no ar, serão muito mais econômicos que as naves do CNES. Foi impossível, na França, iniciar tais pesquisas (tinha estas ideias em 1975), porque as pessoas, especialmente no CNRS, as consideravam totalmente irracionais. O resultado representa trinta anos de atraso em relação aos Estados Unidos, a meu ver totalmente irrecuperáveis.

A piada da bexiga de tabaco

Para ser completo, é necessário citar as versões do virar da esfera com o centro sendo uma bexiga de tabaco. Era um objeto comum quando eu era jovem, mas que hoje não se encontra mais com tanta frequência. O primeiro a desenhar estas sequências foi Georges Francis. Nos últimos anos, trabalho em uma versão poliédrica dessas versões, que já deu um modelo central bastante bonito. Mas, para mostrá-lo a vocês, terei que conseguir encontrá-lo novamente. Em breve, espero, pois é um dos objetos mais fascinantes que já criei.

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