Proposta de seminário em cosmologia
2 de novembro de 2006
Geometrização do modelo cosmológico de Andréi Sakharov
J.P. Petit & G. D'Agostini
2 de novembro de 2006
O prêmio Nobel Andréi Sakharov é pouco conhecido por seus trabalhos na área da cosmologia ([1], [2], [3]). Um dos autores ([7], [8], [9], [10], [11]) trabalhou desde 1977 nessa mesma direção, ignorando esse trabalho, do qual só tomou conhecimento em 1984, no momento da publicação na França de uma obra intitulada "Andréi Sakharov, Obras Científicas" [4], originalmente publicada em inglês em 1982 [5].
Definindo esquematicamente esse modelo, que envolve uma simetria T, Andréi Sakharov expõe sua preocupação principal: explicar a ausência de antimatéria em nosso universo observável. Após considerar uma simetria T, Sakharov opta por universos simétricos CPT [6].
Vamos traduzir essa ideia geometricamente, utilizando as seguintes ferramentas:
- Grupos dinâmicos
- Espaço dos momentos (dual da álgebra de Lie do grupo)
(referência: Estrutura dos Sistemas Dinâmicos, J.M. Souriau, 1972 [12])
Partimos do grupo de Poincaré, grupo de isometria do espaço de Minkowski. O número de componentes do momento é igual à dimensão do grupo, ou seja, dez.
Essas componentes são então agrupadas da seguinte forma:
- Uma componente que é a energia E
- Três componentes que formam o vetor momento
- Três componentes constituem o que Souriau chama de "passagem"
- As três outras formam o "giro"
(essa abordagem permite fazer aparecer o spin como um objeto puramente geométrico, ver referência [12], página 181).
O grupo de Lorentz possui quatro componentes conexas.
- A primeira, a componente neutra do grupo, não inverte nem o espaço nem o tempo.
- A segunda inverte o espaço (simetria P), mas não o tempo.
- A terceira inverte o tempo, mas não o espaço (simetria T).
- A quarta inverte tanto o espaço quanto o tempo (simetria PT).
Souriau agrupa as duas primeiras componentes do grupo de Lorentz para formar o que ele chama de subgrupo ortocrono L₀. Os elementos desse subgrupo, atuando sobre um movimento dado, conservam a orientação do tempo. As componentes restantes constituem o subconjunto anticrono Lₐ, cujos elementos invertem o tempo (simetria T).
Construído a partir do grupo de Lorentz, adicionando-se as translações espaço-temporais, o grupo de Poincaré também possui quatro componentes conexas.
O estudo da ação do grupo de Poincaré completo (com suas quatro componentes) sobre seu espaço dos momentos mostra que a simetria T implica a inversão do sinal da energia (referência [12], página 197, "inversões de espaço e tempo", relações (14.67)).
Kaluza mostrou que dotar uma partícula material relativística de carga elétrica era equivalente a inscrever seu movimento em um espaço com uma dimensão adicional, do tipo espaço:
t, x, y, z, z
Um ponto desse "espaço de Kaluza" corresponde então ao vetor:
O grupo dinâmico associado a essa geometria é a extensão central do grupo de Poincaré. Pode-se representar matricialmente a ação desse grupo sobre o espaço de Kaluza segundo:
L, matriz (4,4), é o elemento do grupo de Lorentz, de dimensão seis.
C é o quadrivetor correspondente a uma translação espaço-temporal.
f é um escalar. Essa extensão central do grupo de Poincaré tem dimensão 11. É também, por definição, o número de componentes do momento. Assim, inscrever o movimento da partícula material relativística em um espaço com uma dimensão adicional, a dimensão de Kaluza, confere ao momento uma componente adicional, escalar:
a carga elétrica q
A ação desse grupo sobre seu espaço dos momentos inclui um termo adicional que expressa a conservação da carga elétrica:
q' = q
Para fazer aparecer uma simetria C, é necessário passar a um grupo com oito componentes conexas, cujo elemento será escrito como:
Ao estudar a ação do grupo sobre seu momento, a ação sobre a carga elétrica torna-se:
Reencontramos (referência [13] Geometria e Relatividade, p. 413) a identidade entre conjugação de carga e inversão da dimensão de Kaluza. Temos, portanto, diante de nós a tradução geométrica clara da simetria C.
Como já dissemos, o grupo de Poincaré:
contém elementos que realizam as simetrias P, T e PT. Consideremos o subconjunto L₀, ortocrono, do grupo de Lorentz.
que é uma forma conveniente de representar o elemento do grupo de Lorentz, separando os elementos do subgrupo ortocrono (m = +1) e os elementos do subconjunto anticrono (m = -1). Podemos reescrever o elemento do grupo de Poincaré conforme:
As componentes anticronas do grupo de Poincaré, ou de sua extensão central, implicam a existência de movimentos de partículas com energia negativa. Seu encontro com partículas de energia positiva resultaria em uma aniquilação completa.
O universo tal como o concebemos é composto por partículas de massa não nula e partículas de massa nula, os fótons (sem prejuízo da nulidade ou não-nulidade da massa dos neutrinos). Todas essas partículas são apenas movimentos particulares da partícula material relativística.
Se aceitamos que todas as componentes do grupo atuem, isso sugere a existência de:
- Partículas de massa não nula com energia negativa
- Fótons com energia negativa
Do ponto de vista da física, parece difícil imaginar a convivência de objetos com energia positiva e seus simétricos T com energia negativa. Daí surgiu a ideia que tivemos: considerar um espaço de movimentos não conexo.
Como Sakharov, tomaremos como base um universo composto por dois folhetos CPT simétricos em relação a uma
Podemos traduzir essa ideia em termos de grupo, introduzindo um índice de folheto f = ±1
Consideremos o seguinte grupo e sua ação sobre um espaço pentadimensional não conexo.
Nesta construção, a simetria CPT (inversão de z e de x) vai junto com a inversão do índice de folheto (f → -f).
O cálculo da ação coadjoinha leva a:
P sendo o quadrivetor momento-energia.
Se o espaço de movimentos correspondente a f = 1 contém partículas com energia positiva, o elemento do grupo correspondente a m = -1 inverte a coordenada f (mudança de folheto), a energia E, o momento p, a carga elétrica q e implica uma simetria CPT.
A dualidade matéria-antimatéria (simetria C) está presente em cada um dos dois folhetos.
Temos, portanto, uma descrição geométrica do modelo proposto inicialmente por Andréi Sakharov.
Agora podemos tentar fornecer precisões sobre o espaço-fronteira que une os dois folhetos (f = +1 e f = -1). Uma das dimensões deve desaparecer.
Em nosso universo, há movimentos que se deduzem um do outro por simetria P. Exemplo: dois fótons de mesma energia, mas com helicidades opostas (fenômeno de polarização da luz).
A simetria C também está presente em nosso universo (presença comprovada de antimatéria, seja nos raios cósmicos ou em colididores).
Mas nenhuma experiência ou observação permitiu evidenciar a existência de partículas com energia negativa.
A energia é um escalar ligado à invariância por...