Este é um monoedro que eu inventei, em um dia de chuva. Se você olhar bem, é um poliedro que possui apenas uma única face e um único lado. Se pegarmos um vetor normal a um ponto da única face e o fizermos girar, ele reaparece, tendo sofrido uma rotação de 90°. Só ao final da quarta volta é que ele retorna à sua posição.
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Eu havia feito o desenho acima "por capricho", imaginando-o na minha cabeça. Mas agora existem programas capazes de lidar com esse tipo de objeto. Quem já baixou (gratuitamente) o Cosmo Player ou estiver disposto a fazê-lo poderá admirar o trabalho do meu amigo Christophe Tardy, sobre este monoedro. Enquanto isso, retomei o trabalho com um código de desenhista a única aresta do objeto, tal como ele a extraiu de uma de suas imagens. A minha conhecimento, não existe software que coloque pontos para representar as partes ocultas e interrompa os traços. Mas poderia também usar uma nuvem mais clara.
De qualquer forma, temos aqui esta única aresta, sem nenhum vértice.
Curiosidade matemática? Talvez. Você sabe, se já deu uma olhada nos meus trabalhos científicos, ou em sua introdução divulgada, que desenvolvo um modelo cosmológico "com dois folhos", a ideia inicial sendo de André Sakharov (1967). Acessoriamente, estes dois "lados do universo" têm coordenadas-tempo opostas. Esta questão do tempo ou "dos" tempos permanece complicada. Não há nada mais escorregadio que esta palavra. O que é a "seta do tempo"? Pode-se falar de "duas setas do tempo antiparalelas"? (era a visão inicial de Sakharov).
No trabalho que publiquei na revista Nuovo Cimento, em 1994, eu havia considerado, uma ideia que havia sido inicialmente sugerida em 1988 por Linde, que estas regiões "gêmeas" poderiam na verdade ser "regiões antípodas". Assim, estes dois universos gêmeos (ao contrário de Linde, os dois universos que eu considero interagem, por meio do campo gravitacional, enquanto os dele se ignoram totalmente). Eles são, portanto, "ao mesmo tempo dois e um". Um matemático diria que esta estrutura é a de um revestimento de dois folhos (a esfera S2 é o revestimento de dois folhos de uma superfície de Boy). Na Nuovo Cimento, eu considerava o revestimento de dois folhos de um projetivo P3 (equivalente de uma superfície de Boy 3D), colocando em coincidência regiões antípodas de uma hiperesfera S3. Mas eu sempre pensei que poderia na verdade tratar-se do revestimento de um projetivo P4, colocando em coincidência regiões antípodas de uma hiperesfera S4. Nesse caso, a interação de duas regiões "adjacentes" deste cosmos único e duplo colocaria em coincidência regiões antípodas (sobre esta hiperesfera S4) que não apenas seriam enantiomorfas (em espelho, P-simétricas) mas também T-simétricas, ou seja, "com setas do tempo opostas". Encontramos aqui a ideia de Andréi Sakharov.
O monoedro é uma imagem (didática) de um cosmos de quatro folhos, de um "cosmoedro". Um cosmos que seria "ao mesmo tempo um em quatro". Quatro regiões assim "adjacentes" interagiriam. Mas estas regiões, quais seriam? Onde deveríamos "lê-las" nesta figura? A seção direita do monoedro (imagem didática simples) é um simples quadrado (pois é gerado pela rotação deste quadrado, ver a imagens em realidade virtual criada por C.Tardy). Estes quatro lados do quadrado seção representam quatro regiões do cosmos que estariam em conjugação. Pode-se então falar, localmente pelo menos, de "revestimento de quatro folhos". Se assimilarmos a normal à superfície do monoedro à seta do tempo, esta gira ao mesmo tempo que este quadrado gerador. Assim, as quatro porções de universo teriam setas do tempo "em cruz", antiparalelas duas a duas:
Também pode-se descrever isso dizendo que há duas pares de universos gêmeos, cujas setas do tempo são antiparalelas duas a duas. É em certo sentido:
( Sakharov )
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Por que esta tal complicação? Seria uma nova recreação geométrica? Hmmmm...
Vou lhes dizer o que está na minha cabeça. Quando construí o modelo de dois universos gêmeos, mostrei que o segundo cosmos poderia abrigar uma matéria completamente análoga à nossa, com seus prótons gêmeos, elétrons gêmeos, fótons gêmeos, etc (se usarmos a palavra "gêmeo", proposta por Sakharov, ou "fantasma", mais em voga no mundo das supercordas). Mostrei também que inverter o tempo na verdade equivale a inverter a massa, ou seja, a energia.
Linde era um aluno de Sakharov. Eu havia discutido longamente com ele em 83, em Moscou, em um quarto do hotel Nacional onde ele veio me encontrar. Em 88, ele mencionou um cosmos duplo onde as duas matérias seriam de energias opostas. Depois, percebendo os problemas que isso poderia causar para coexistir estas duas matérias na mesma região do espaço-tempo, ele enviou "a outra matéria", de energia negativa, aos antípodas. Mas, ao fazer isso, ele não percebeu que estava encontrando a ideia de seu mestre, Sakharov (que defendia tempos opostos), pois (J.M. Souriau 1972) inverter o tempo ou inverter a massa e a energia é a mesma coisa.
Se você tiver coragem, ou competência, de ler os artigos da Geometrical Physics B, você verá que a dualidade matéria também existe no cosmos gêmeo. Não apenas há uma matéria gêmea, mas também, no segundo lado do universo, há uma antimatéria gêmea.
Tudo isso pode ser estendido a um contexto de quatro folhos. Obteríamos então uma matéria imaginária e uma matéria imaginária gêmea (com setas do tempo imaginárias puras, em relação a nós, antiparalelas uma em relação à outra).
Problema: como esta maneira imaginária interagiria com a nossa? Reconheço que, por enquanto, não tenho a menor ideia, mas encontrarei algo. A geometria é um mundo rico em artifícios de todos os tipos.
Paremos um instante com esta ideia. O que é este mundo imaginário, em relação ao nosso? É um meta-mundo, etimologicamente falando.
O equipamento do físico teórico e do cosmologista, que não é outro que o de um bom geômetra, permite considerar (como notou Linde em 88) "mundos paralelos" habitados por partículas que, ou poderiam ser idênticas às nossas, ou porque constituem suas imagens em espelho (simetria P), ou suas duplas com energia negativa (simetria T), ou ambas as coisas. Nesse ponto, por que não saltar o passo e considerar partículas cujos parâmetros sejam puramente imaginários (massa, carga, seta do tempo, etc.). Isto leva à ideia de um meta-mundo que também poderia ser composto por partículas, obedecendo a uma física puramente imaginária, bastante próxima da nossa, talvez, que poderíamos então chamar de meta-física.
Não me lembro qual filósofo escreveu "a metafísica é um grande oceano, e para atravessá-lo não temos..."