Prefácio ao artigo publicado em 1994 na revista Nuovo Cimento
O ponto de partida deste trabalho data de 1977. Duas notas nos Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris:
J.P. Petit: "Universos enantiomorfos com setas do tempo opostas", CRAS de 8 de maio de 1977, t.285, pp. 1217-1221
J.P. Petit: "Universos em interação com sua imagem no espelho do tempo", CRAS de 6 de junho de 1977, t. 284, série A, pp. 1413-1416
No artigo que se segue, tentamos estabelecer uma relação ponto a ponto (aplicação involutiva) entre os pontos do entorno da Terra (em escala cosmológica) e os pontos conjugados do segundo universo (que denominamos universo gêmeo: twin universe, ou universo-sombra: shadow universe, ou universo-fantasma: ghost universe, denominações que, em nosso entendimento, são equivalentes), utilizando uma relação de antipodalidade, que implicava uma hipótese inicial sobre a topologia do objeto geométrico. Posteriormente, percebemos que isso não era necessário, pois podíamos definir a estrutura local (F,F*) como um revestimento de duas folhas de uma "variedade esquelética". A estrutura torna-se então a de um revestimento de duas folhas do projetivo P3, equivalente a três dimensões do projetivo P2, de duas dimensões, mais conhecido, portanto, a representação mais conhecida é a superfície descoberta em 1902 pelo austríaco Werner Boy, conforme a figura 184 (em princípio uma animação, quando o site estiver completo).
Boy era aluno do grande matemático Hilbert, que se declarou muito satisfeito com a invenção de seu aluno. Para a pequena história, após sua invenção, Boy deixou a universidade e nunca mais se soube de sua existência. Todas as pesquisas realizadas pelos historiadores para localizá-lo foram infrutíferas. Não se sabe se ele morreu de uma gripe ruim ou se terminou seus dias como encanador.
Os geométricos sabem que é possível fazer coincidir todos os pontos de uma esfera S2 com um projetivo P2, como mencionado na figura 10 do artigo a seguir. O polo norte é assim levado à coincidência com o polo sul e o equador enrola-se sobre si mesmo segundo o pseudo-equador da superfície de Boy, também indicado. Esse revestimento de duas folhas é indicado na figura 11 do artigo. Observa-se, pelo menos em duas dimensões, que essa operação faz coincidir objetos enantiomorfos, em espelho. As figuras 12 e 13 são imagens didáticas que mostram então como os aglomerados viriam a se posicionar nas lacunas da região antipodal.
Esse sistema de revestimento de duas folhas pode ser estendido a três e até quatro dimensões, com esferas S3 e S4, revestindo respectivamente os projetivos P3 e P4.
Antes de prosseguir, podemos familiarizar o leitor com a geometria dessa estranha superfície de Boy. O leitor também poderá encontrar diferentes variações do objeto no Topologicon (Ed. Belin, 1984).
O que pode surpreender o leitor é o fato de que essa superfície se auto-interseca segundo um conjunto de auto-interseções que é uma curva trifoliada, lembrando uma hélice de navio:
Neste desenho, à esquerda, foi feita uma abertura para mostrar o ponto triplo, onde se cruzam três folhas. Essa superfície parece particular. Na verdade, este objeto é um excelente exemplo que permite ilustrar o conceito de espaço de representação (3D) mencionado anteriormente.
O ponto triplo T e a curva de auto-interseção devem-se apenas ao modo de representação do projetivo P2 em R3. Uma esfera, um toro, podem ser imersos em R3, ou seja, admitir representações topologicamente equivalentes onde a superfície não se auto-interseca. Mas é impossível imergir o projetivo P2 em R3. Só se pode imergi-lo. O desenho acima (a superfície de Boy) é, portanto, uma imersão do projetivo em R3. Uma imersão de um objeto 2D é um modo de representação em R3 onde se encontra uma linha de pontos duplos (a curva de auto-interseção), ao longo da qual se encontram dois planos tangentes, mais um certo número de pontos triplos onde três folhas se cruzam. A superfície de Boy é apenas uma entre infinitas formas de imergir o projetivo P2 em R3. Outras serão encontradas em um artigo, que será incluído no site, intitulado "As diferentes faces do plano projetivo".
É bastante fácil obter imagens da superfície de Boy por meio de uma representação paramétrica que inventamos e publicamos
---> O leitor encontrará no sub-site MATEMÁTICAS, entre outros, a reprodução da nota publicada em 1981 na Academia de Ciências de Paris, com J. Souriau (não, este não é o famoso matemático, mas um de seus filhos, Jérôme, que mais tarde se tornou informático), cuja referência é:
"Representação analítica da superfície de Boy", Nota nos Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, tomo 293 (5 de outubro de 1981), série 1, pp. 269-272
Mostra-se que a superfície possui então meridianos elípticos. Essa propriedade permite traçá-la facilmente. A seguir, o programa constante na página de capa da minha banda desenhada Topologicon.
Programa BASIC
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN(6*MU - P3)
110 E = 6.732 * SIN(3*MU - P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN(P8 * SIN(3*MU))
140 C2 = SQR(A * A + B * B) : C3 = (4 * D * E) / C2
160 CM = COS(MU) : SM = SIN(MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS(TE) : TS = B * SIN(TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM AQUI ESTÃO AS 3 COORDENADAS
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y = Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM INSTRUÇÃO PARA EXIBIR OS PONTOS
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
Para registro, foi essa descoberta da possibilidade de representar essa superfície por meio de meridianos elípticos que permitiu posteriormente ao matemático Apéry obter a primeira representação sob forma implícita, de sexto grau:
f(x, y, z) = 0
que não reproduziremos (é, aliás, bastante complicada e estamos convencidos de que devem existir formas mais simples, mas isso será objeto de outro documento que será incluído no site MATEMÁTICAS).
A garrafa de Klein é mais conhecida dos leitores. Também é impossível imergi-la em R3. Ela se apresenta, em sua forma mais clássica, como uma imersão dotada de um conjunto de interseção que é uma simples curva fechada.
O revestimento de duas folhas da superfície de Klein é um toro T2, assim como o revestimento da superfície de Boy (projetivo P2) é uma esfera S2. O leitor interessado na superfície de Boy poderá encontrar uma maquete 3D em uma das salas do Palais de la Découverte de Paris, maquete que fizemos confeccionar pelo plástico Max Sauze, a partir de um modelo mais rústico que havíamos realizado.
Nessas operações de revestimento de duas folhas, os meridianos e os paralelos dos objetos "se enrolam sobre si mesmos". Podemos, por exemplo, mostrar o que acontece com os "paralelos" do toro (ligados também ao mergulho representado):
Neste mergulho do toro, as curvas paralelas evidentemente não são geodésicas da superfície (exceto o "círculo do gargalo"). Situação análoga ocorre com os meridianos do toro, que são geodésicas de seu...