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O problema da massa faltante
Jean-Pierre Petit
Observatório de Marselha, França
(Il Nuovo Cimento B Vol. 109 Julho 1994, pp. 697-710)
Resumo
Uma nova equação de campo é proposta, associada a uma topologia S3 × R1. Introduzimos uma aplicação diferencial involutiva A que relaciona qualquer ponto do espaço s com a região antípoda A(s). Segundo esta equação, a geometria da variedade depende tanto do tensor de energia-momento T quanto do tensor antípoda A(T). Considerando uma métrica independente do tempo, campos fracos e velocidades frágeis, derivamos a equação de Poisson associada, que fornece estruturas em aglomerados interagindo com estruturas antípodas em halo. A segunda estrutura ajuda no confinamento da primeira. Sugere-se que este modelo poderia explicar o efeito da massa faltante e a estrutura em grande escala do universo.
- Introdução
O equilíbrio de uma galáxia é estudado utilizando um certo conjunto de equações não relativistas, como a equação de Vlasov acoplada à equação de Poisson, que deriva da equação geral de campo de Einstein
(1)
S = c T
mais uma hipótese de estado estacionário na qual consideramos campos fracos e velocidades frágeis. É bem conhecido que o campo gravitacional devido à massa visível de nossa galáxia não pode equilibrar as forças centrífugas e de pressão. Alguns supõem que uma certa massa invisível, a matéria escura, poderia contribuir para o campo e equilibrar a força centrífuga. A seguir, propomos outro modelo, baseado em uma nova equação de campo.
- Uma nova equação de campo
Assumimos que o universo tem a topologia de S3 × R1.
As coordenadas gaussianas são
(2)
x = (x°, s)
onde x° é um marcador temporal e o vetor s representa os marcadores espaciais. O espaço-tempo é orientado. É possível definir uma aplicação diferencial involutiva que relaciona um ponto dado s ao ponto antípoda s*.
(3)
s* = A(s)
Consideremos dois campos tensoriais S e T definidos na variedade. Suponhamos que estejam ligados pela seguinte equação de campo
(4)
S = c (T - A(T))
com
(5)
A(T) = T* = T(x°, s*)
Assumimos que a luz segue as geodésicas do espaço-tempo.
g é o tensor métrico.
R é o tensor de Ricci, de forma que
(6)
g* = g(x°, s*)
R* = R(x°, s*)
Podemos escrever a equação de campo na forma mais explícita
(7)
Escrevamos os tensores T e T* da seguinte forma
(8)
(9)
com
r* = r(x°, s*)
p* = p(x°, s*)
Se impusermos a condição de divergência nula, o fluido obedece às seguintes equações de conservação
(10)
- Condições independentes do tempo com campos fracos e velocidades pequenas. A equação de Poisson.
Podemos aplicar o método clássico, tomando uma métrica quase-lorrenziana
(11)
g = h + ε g
onde h é a métrica lorentziana e ε é um pequeno parâmetro.
Na notação tridimensional
(12)
A lei de Newton se aplica a todo o espaço. Além disso, o potencial gravitacional é definido da seguinte forma:
(13)
Reciprocamente, dado o potencial gravitacional Y, o movimento de uma partícula seguirá uma geodésica quadridimensional se os termos goo do tensor métrico tiverem a forma
(14)
obtemos
(15)
Por identificação, obtemos a seguinte equação de Poisson
(16)
ΔY = 4πG (ρ - ρ*)
Se considerarmos um sistema com simetria esférica
(17)
onde
(18)
ρ* = ρ(s*)
De acordo com (17)
(19)
Y* = -Y