Cosmologia dos universos gêmeos (p 5)
- Sobre a constância de G e de c.
...
Considere as duas grandezas G (gravitação) e c (velocidade da luz). Elas intervêm na constante de Einstein
c
. Esta última é classicamente determinada da seguinte forma:
A métrica é expressa como:
(12)
onde g
mn
(L) é o tensor métrico de Lorentz e
e gmn
representa uma perturbação muito pequena e independente do tempo (tensor métrico quase lorentziano). Além disso, para estabelecer uma ligação estreita com a teoria clássica, supõe-se que a velocidade de uma partícula ao longo de uma geodésica é muito menor que c, ou seja:
(13)
Em seguida, aplica-se a mesma aproximação à equação diferencial de uma geodésica:
(14)
Obtém-se então:
(15)
Além das condições de estado estacionário, costuma-se escrever:
(16)
dx° = c dt
o que introduz simultaneamente a velocidade da luz c e o tempo t. Além disso:
(17)
A equação geodésica torna-se:
(18)
Se identificarmos ao modelo newtoniano, podemos relacionar o potencial de perturbação gravitacional à métrica por meio de:
(19)
Se considerarmos um meio de baixa densidade
r
o e de baixa velocidade, o tensor energia-matéria reduz-se a:
(20)
cuja traço é
r o . Então o segundo membro da equação de campo torna-se (21)
Ainda na hipótese de estado estacionário, obtemos:
(22)
Identificando com a equação de Poisson, determinamos a constante desconhecida
c
da equação de campo:
(23)
Se
c
não for considerado como uma constante absoluta, a divergência nula da equação de campo (1) já não será garantida, segundo a hipótese
d
= 0, o que fornece as equações de conservação da física. Mas salientamos que a constância de
c
não exige separadamente a constância de G e de c, pois determinamos (23) a partir de uma métrica independente do tempo (12). Podemos então passar para a condição menos restritiva:
(24)
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Esta ideia, sugerida pelo autor em 1988-89 nos artigos [12,13,14]. Mas, segundo nosso conhecimento, a ideia de uma variação secular da velocidade da luz foi introduzida anteriormente por V.S. Troistkii [11].
- Métrica de Robertson-Walker.
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Assumindo que o Universo é isotrópico e pode ser descrito por uma métrica riemanniana, obtemos a métrica clássica de Robertson:
(25)
Se o Universo for assumido como homogêneo, então
T
= A(
T) e a solução cosmológica espacialmente homogênea provém de:
(26)
S = c ( T
- A(
T)) = 0
Esta métrica deve ser introduzida na equação (1), com um segundo membro nulo. Obtemos então o seguinte sistema de duas equações:
(27)
(28)
A partir de (27) e (28), obtemos:
(29)
k = - 1 (curvatura negativa) e R = x°
x° é um "marcador cronológico". Note que existe apenas uma solução (k = -1). Se identificarmos classicamente x° a ct, c sendo considerado como uma constante absoluta, obtemos a solução bem conhecida trivial R = ct. Fazendo isso, definimos de maneira um pouco arbitrária o tempo cósmico t. Mas ele pode ser definido de forma diferente, de maneira não padrão, como será mostrado no desenvolvimento seguinte.