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Uma matriz quadrada de posto (n,n) age sobre um vetor coluna (n,0). Vimos que o grupo de Euclides 2D, referindo-se a um espaço (x,y), não envolvia ações sobre vetores-coluna:
(51)
mas sobre vetores-coluna:
(52)
O que representa um exemplo
de ação
do
grupo sobre um espaço
Xcom
x X
. . Há uma infinidade de ações possíveis, mesmo que seja apenas o grupo sobre si mesmo. As ações são definidas por axiomas.
(53)
Considerando o vetor coluna:
(54)
onde
x
representa, por exemplo, os vetores:
(55)
(56)
verifica os axiomas da ação do grupo. Pode-se então realizar uma multiplicação à esquerda da matriz quadrada que representa o elemento do grupo, com uma matriz linha
y
, questionando se isso também é uma ação.
(57)
A g (y) = y x g
A resposta é não. Não é uma ação de grupo: não satisfaz os axiomas dados acima. É então o que gosto de chamar uma "anti-ação", obedecendo, portanto, aos seguintes "anti-axiomas":
(58)
O matemático dirá que não há necessidade alguma de invocar essas "anti-ações" e que há apenas um conjunto de axiomas. Certamente. Da mesma forma, o que é considerado como uma "anti-ação":
(59)
AA g (m) = g⁻¹ x m x g
sendo m um vetor dado, uma "anti-ação do elemento g do grupo G sobre a matriz m", com g⁻¹ representando a matriz inversa, pode ser tratada como uma ação do elemento g⁻¹.
Da mesma forma, uma "anti-ação" é simplesmente a dual de uma ação. Digamos que isso me pareceu conveniente introduzir esse conceito, por razões didáticas.
A partir de um grupo de matrizes quadradas, dependendo de n parâmetros p i, pode-se construir matrizes diferenciando todos esses parâmetros segundo:
dp i. As matrizes assim obtidas, pontilhadas de elementos dp i, não constituem um grupo, mas aquilo que se chama o "vetor tangente ao grupo":
d g
(seu "álgebra de Lie", que, por sinal, tampouco é uma verdadeira álgebra, mas vamos passar adiante).
O grupo pode, portanto, agir sobre o "vetor tangente" d g, próximo ao elemento neutro e do grupo, através da "anti-ação":
(60)
AA g (m) = g⁻¹ x d g (g=e) x g
Obtém-se, assim, o esquema:
(61)
Mas uma anti-ação é a dual de uma ação. Quando há dualidade, há conservação de um produto escalar S.
Souriau, portanto, buscou construir
uma segunda ação de grupo,
a do grupo sobre seu espaço dos momentos.
Mas essa ação, dita
ação coadjoinra
ou
essencial,
não podia emergir diretamente. Teve, então, que passar por esse intermediário que chamo de "anti-ação do grupo sobre seu vetor tangente".
Assim, a ação procurada emerge como a dual da anti-ação do grupo sobre seu vetor tangente. E a dual de uma anti-ação
é
uma ação, que se escreverá:
(62)
A g (J)
onde J será o "momento": uma constelação de quantidades que são atributos de um "ponto material", a ação em questão, dita
coadjoinra,
mostrando como esses atributos se modificam no movimento.
Existe um grupo, que será dado mais adiante, que é uma extensão do grupo de Galileu, também dado mais adiante, e que se chama grupo de Bargmann (1960). Aplicando este método a esse grupo, pode-se construir seu momento J B e a maneira como o grupo age sobre ele.
Souriau costuma dizer:
O momento segue o movimento como sua sombra.
Imagem elegante, emprestada de sua obra "Gramática da Natureza". O ponto material efetivamente se move no espaço-tempo (x,y,z,t). Ao fazê-lo, seus atributos evoluem, o que é descrito por essa ação coadjoinra do grupo sobre seu espaço dos momentos.
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