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Não vamos escrever as componentes do momento do grupo de Bargmann. Esquematicamente, escrevemos o momento do grupo de Bargmann como segue:
J B = { um escalar m, mais as outras componentes do momento }
A ação coadjuvante
indica como as diferentes componentes do momento se transformam. Mas esta ação coadjuvante começa com a relação simples:
(63)
m' = m
A ação coadjuvante do grupo de Bargmann sobre seu momento começa por preservar a massa, que assim adquire um
status puramente geométrico
.
Construção da ação coadjuvante do grupo de Poincaré sobre seu espaço de momentos J p.
Se você já está completamente perdido, esqueça. É normal e vai ficar cada vez mais difícil à medida que avançar nas páginas. Não sei mais muito bem, nesse ponto, a quem se dirige o que vem a seguir. A físicos teóricos ou a matemáticos, certamente, mas provavelmente não a encanadores. Mas um aluno de Grande Escola ou licenciatura em física, que se segurar, poderá acompanhar. São apenas matrizes.
Tudo começa com um grupo de matrizes de formato (4,4) que constituem o grupo de Lorentz, cujo elemento é L.
Esses são definidos axiomáticamente a partir de uma matriz G:
(64)
segundo:
(65)
t L G L = G
envolvendo a transposta da matriz L.
As matrizes L formam um grupo.
Demonstração.
O elemento neutro é L = 1:
Sejam L1 e L2 dois elementos do conjunto. Verificamos que o produto L1 L2 pertence ao grupo. Se for o caso:
t (L1 L2) G L1 L2 = G
Mas:
t (AB) = t B t A
Portanto:
t (L1 L2) G L1 L2 = t L2 t L1 G L1 L2 = t L2 (t L1 G L1) L2 = t L2 G L2
Calculamos então a inversa da matriz L. Começamos com a definição axiomática dos elementos L:
t L G L = G
Multiplicamos à direita por L-1:
t L G L L-1 = G L-1 t L G = G L-1
Multiplicamos à esquerda por G:
G t L G = G G L-1 G t L G = L-1
Portanto, a inversa da matriz L é:
L-1 = G t L G
Ou seja:
(66)
o vetor espaço-tempo. A matriz G vem da métrica de Minkowski, que pode então ser escrita (com c = 1):
(67)
Exercício: mostrar que a matriz inversa obedece a:
(68)
Introduzimos então um vetor de translação espaço-temporal:
(69)
A partir do qual construímos o elemento g p do grupo de Poincaré:
(70)
Exercício: mostrar que isto forma um grupo e calcular a matriz inversa:
(71)
A seguir, o "vetor tangente ao grupo, elemento de sua "Álgebra de Lie":
(72)
A partir disso, vamos calcular a ação inversa:
(73)
d g p ' = g p -1 x d g p x g p
Por conveniência de cálculo, notamos que:
(74)
G d L é uma matriz antissimétrica. Chamemo-la de:
(75)
portanto:
(76)
Seja:
(77)
A partir deste material, vamos constituir a ação inversa:
(78)
d g p ' = g p -1 x d g p x g p
Após todos os cálculos, obteremos a aplicação:
(79)
Se quiser pular esta parte de simples cálculo matricial, consulte a equação (80), rodapé
(79a)
(79b)
onde os elementos da ação inversa são:
(79c)
mas:
(79d)
portanto:
(79e)
mas GG = 1
portanto:
(79f)
onde obtemos a aplicação:
(79g)
Isso constitui a ação inversa procurada, a aplicação:
(80)
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