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Um elemento
g
p do grupo de Poincaré
Gp é definido por uma sequência de parâmetros {
p
i},
cujo número, como já dissemos, representa a
dimensão do grupo
. A matriz
d g
(g = e)
é constituída com as quantidades
{
dp
i} . A aplicação
acima é, portanto, do tipo :
(81)
Em outras palavras, a um conjunto de escalares
dp
i
faz-se corresponder um número igual de escalares
dp
i
'.
A dualidade consiste em postular a invariância
de um escalar, segundo :
(82)
n sendo a dimensão do grupo (dez, para o grupo
de Poincaré). Os escalares Ji representam as componentes
do momento, com o mesmo número.
Decidimos decompor este momento
Jem dois objetos. O primeiro será uma matriz
Manti-simétrica
de formato (4,4), portanto com seis componentes, e o segundo um "quadri-vetor"
P, matriz de formato (4,1) :
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
Escreveremos o produto escalar na forma
:
(85)
Tr significando "traço de", e teremos ainda :
(86)
forma linear cuja invariância garante a dualidade.
com :
(87)
(87b)
(87c)
mas
GG
= 1
portanto isto vale :
(88)
Identifiquemos os termos em
y (89)
Isto é:
(90)
----> Mais uma vez seguem detalhes de cálculo
matricial. Se quiser,
clique aqui
você pode ir diretamente ao resultado
Na traço podemos realizar uma permutação circular
dos termos.
(90a)
(90b)
(90c)
o segundo termo do segundo membro é igual ao produto de uma
matriz linha por uma matriz coluna.
Isto é igual ao traço do produto inverso
(em seguida, esquematicamente, o produto de uma matriz linha por
uma matriz coluna):
(90d)
Neste traço, posso realizar uma permutação
circular:
(90e)
Deste modo:
(90f)
(90g)
Aqui vamos aplicar novamente o teorema
sobre os traços das matrizes que são o produto de outra matriz por uma
matriz simétrica.
Toda matriz pode ser tornada simétrica
ou anti-simétrica. Além disso, o traço do produto de uma matriz
por uma matriz simétrica é nulo.
(90h)
Posso aplicar isso à matriz (90i)
pois estamos tomando o traço
(90j)
(90k) = sim ( ) + anti-sim ( )
mas:
(90l)
portanto
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
e:
(90q)
finalmente:
(90r)
Agrupando e trocando os primos de lado
obtenho minha ação do grupo :
Imagens
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