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Partículas de spin.
O grupo de Poincaré descreve o movimento relativístico de um objeto pontual. Da mesma forma, o grupo de Bargmann, cuja expressão será dada mais adiante, descreve o movimento não relativístico de um objeto pontual, que então é chamado de "massa pontual".
Assim, vemos que esta técnica, o cálculo da ação coadjuvante do grupo sobre o espaço dos momentos, permitiu que elementos ocultos, atributos do objeto, emergissem: as componentes do momento.
O que é notável é que esta abordagem, devida a Souriau, faz aparecer os objetos fundamentais da física como objetos puramente geométricos. Assim, ele realizou um trabalho sem precedentes de geometrização da física.
Fora da energia e do momento, outras componentes, o "giro" e o "deslocamento", desorientam bastante o físico. Quem é aco?
A expressão das componentes do momento evidentemente depende do sistema de coordenadas escolhido.
O mais simples é provavelmente voltar brevemente ao não relativístico, ou seja, à expressão da ação coadjuvante, tal como teria surgido da análise do grupo de Bargmann.
(111)
Fórmula misteriosa. Para que serve? Como funciona?
Neste quadro acima, o físico reconhecerá alguns objetos familiares:
(112)
são apenas duas expressões do vetor velocidade {vx, vy, vz}, a primeira sob forma de uma matriz coluna e a segunda sob forma de uma matriz linha. O produto das duas matrizes é um escalar:
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algo que começa a se assemelhar a uma energia cinética.
m v é um momento.
O físico tradicional, no que diz respeito à dinâmica de uma partícula material, conhece apenas três coisas:
-
A massa m
-
O momento m v
-
A energia cinética 1/2 mv2
Sim, mas velocidade em relação a quê?
Um grupo também é um olhar sobre as coisas. Pode-se então considerar que se transporta, com o grupo, objetos (como vimos com o grupo de Euclides), em relação a um observador supostamente fixo, ou, o objeto sendo fixo, observá-lo de outra forma.
Se adotarmos este deslocamento, este transporte dos objetos, no que diz respeito aos grupos dinâmicos, aqueles da física (em oposição ao grupo de Euclides onde o tempo não aparece), teremos que dizer também que animamos os objetos, atribuindo-lhes velocidade v e energia E.
Se adotarmos o ponto de vista inverso: considerar que o objeto é fixo e considerar que nos deslocamos, que sentido dar aos grupos?
O grupo de Euclides significaria então: "Visto de outro lugar e sob outro ângulo".
"Outro lugar" é o vetor de translação:
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"Visto sob outro ângulo" é a matriz de rotação a, uma rotação no espaço (que poderia ser explicitada com os ângulos de Euler, o que não faremos).
No que diz respeito aos grupos dinâmicos, este olhar, este ponto de vista sobre as "coisas" deve ser aprimorado. Mantendo-nos no contexto do grupo de Bargmann, o fato de introduzir esta velocidade v significa que, além disso, o observador, que observa esta massa pontual de outro lugar (vetor de translação c), sob outro ângulo (matriz de rotação a), também é animado, em relação a esta massa pontual supostamente imóvel, com uma velocidade v.
E, para ser completo, para complicar um pouco mais, ele não evolui no mesmo tempo que a partícula, o ponto massa observado. Ele está deslocado em relação a ele por um intervalo de tempo Δt.
Em outras palavras: ele a observa de outro lugar, mas é um outro lugar espaço-temporal, correspondendo ao vetor de translação espaço-temporal:
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Tendo tomado tal "afastamento", em relação a este ponto massa, o que constato? Primeiramente que: m' = m
Isso não afeta sua massa.
Posso me simplificar a vida anulando a rotação.
Já é complicado o suficiente observar uma massa pontual de outro lugar, visto de outro momento, deslocado, montado em um skate com velocidade v. Será que é absolutamente indispensável torcer o pescoço?
Não. Façamos a = 1.
Mas geralmente este detalhe é omitido nos cálculos. A ação coadjuvante, assim particularizada, torna-se:
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Considerar deve ser tomado aqui no seu sentido etimológico. O que faço quando considero uma situação, o céu, um campo de batalha, o filme capturado por um avião espião?
Um oficial de justiça escreveria:
- Considerando o estado dos locais...
Visão estática, correspondente ao grupo de Euclides. O oficial de justiça observa os objetos a uma distância c, no mesmo momento (Δt = 0), em princípio imóvel (v = 0). Em casos especiais, sob um ângulo particular, sob "um certo ângulo".
Um general, andando em um avião de reconhecimento, é uma espécie de oficial de justiça que se move (v ≠ 0).
Mas um chefe de Estado-Maior que assiste ao filme capturado por um avião espião, um "drone", está diante de uma situação deslocada no tempo. Ele é obrigado a dizer:
- Consideremos o alvo, visto de tal ponto, em curva inclinada, a tal velocidade, e além disso tal como se apresentava duas horas antes...
O alvo não possui uma velocidade própria particular. Não se pode considerá-lo como fixo, mesmo que seja "uma instalação fixa". Mesmo a Terra se move, o Sol também, a galáxia, etc.
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